Lời giải:

a) Áp dụng tỉ số lượng giác vào $\triangle ABC$ vuông tại $A$ ta được:

$\bullet\quad \tan\widehat{ABC} = \dfrac{AC}{AB} = \dfrac{36}{27} = \dfrac43$

$\Rightarrow \widehat{ABC} \approx 53^\circ$

$\Rightarrow \widehat{ACB} = 90^\circ - \widehat{ABC} \approx 37^\circ$

b) Ta có:

$\widehat{ADB} = \widehat{ABC}$ (cùng phụ $\widehat{ABD}$)

$\Rightarrow \tan\widehat{ADB} = \dfrac43$

Xét $\triangle ABD$ vuông tại $A$ có:

$\tan\widehat{ADB} = \dfrac{AB}{AD}$

$\Rightarrow AD = \dfrac{AB}{\tan\widehat{ADB}} = \dfrac{27}{\dfrac43}$

$\Rightarrow AD = \dfrac{81}{4}\ cm$

c) Gọi $H$ là trung điểm $AE$

$\Rightarrow AH\perp BC$

Áp dụng hệ thức lượng trong $\triangle ABC$ vuông tại $A$ đường cao $AH$ ta được:

$\quad \dfrac{1}{AH^2} = \dfrac{1}{AB^2} + \dfrac{1}{AC^2}$

$\Leftrightarrow \dfrac{1}{\left(\dfrac12AE\right)^2} = \dfrac{1}{AB^2} + \dfrac{1}{AC^2}$

$\Leftrightarrow \dfrac{4}{AE^2} = \dfrac{1}{AB^2} + \dfrac{1}{AC^2}$

$\Leftrightarrow \dfrac{1}{AE^2} = \dfrac{1}{4AB^2} + \dfrac{1}{4AC^2}$

d)  Ta có: $\triangle MBC$ vuông cân tại $M$

$\Rightarrow \widehat{MBC} = \widehat{MCB} = 45^\circ$

Xét tứ giác $ABMC$ có:

$\widehat{A} + \widehat{M} = 180^\circ$

$\Rightarrow ABMC$ là tứ giác nội tiếp

$\Rightarrow \widehat{MAC} = \widehat{MBC} = 45^\circ$

$\Rightarrow \widehat{MAB} = \widehat{BAC} - \widehat{MAC} = 90^\circ - 45^\circ =45^\circ$

$\Rightarrow \widehat{MAB} = \widehat{MAC} = 45^\circ = \dfrac12\widehat{BAC}$

$\Rightarrow AM$ là phân giác của $\widehat{BAC}$