`a)` $I$ là trung điểm của $AH$ (gt)

`=>I` là tâm đường tròn đường kính $AH$

 $\quad AMHN$ nội tiếp `(I)`

`=>\hat{AMN}=\hat{AHN}` (cùng chắn cung $AN$)

Mà `\hat{AHN}=\hat{ACB}` (cùng phụ `\hat{HAN}`)

`=>\hat{ACB}=\hat{AMN}`

Xét $∆ACB$ và $∆AMN$ có:

`\qquad \hat{A}` chung

`\qquad \hat{ACB}=\hat{AMN}`

`=>∆ACB∽∆AMN` (g-g)

$\\$

`b)` Ta có:

`\hat{ANH}=90°` (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

`=>HN`$\perp AC$ tại $N$

`=>∆HNC` vuông tại $N$

Vì $K$ là trung điểm $HC$ (gt)

`=>NK` là trung tuyến $∆HNC$

`=>NK=HK=1/ 2 HC`

$\\$

Xét $∆INK$ và $∆IHK$ có:

`\qquad IK` là cạnh chung

`\qquad IN=IH=1/ 2 AH` (bán kính của $(I)$)

`\qquad NK= HK`

`=>∆INK=∆IHK` (c-c-c)

`=>\hat{INK}=\hat{IHK}=90°`

`=>KN`$\perp IN$

$\\$

`=>KN` là tiếp tuyến tại $N$ của đường tròn đường kính $AH$

$\\$

`c)` $∆ABC$ vuông tại $A$ có đường cao $AH$

`=>AH^2=HB.HC` (hệ thức lượng)

`=>{AH}/{HB}={HC}/{AH}`

Vì `AH=2HI;HC=2HK`

`=>{2HI}/{HB}={2HK}/{AH}`

`=>{HI}/{HB}={HK}/{HA}`

$\\$

Xét $∆HBI$ và $∆HAK$ có:

`\qquad \hat{BHI}=\hat{AHK}=90°`

`\qquad {HI}/{HB}={HK}/{HA}`

`=>∆HBI∽∆HAK` (c-g-c)

`=>\hat{HBI}=\hat{HAK}`

Gọi $D$ là giao điểm của $AK$ và $(I)$

`=>\hat{HAK}=\hat{KHD}` (cùng chắn cung $HD$)

`=>\hat{HBI}=\hat{KHD}`

Mà `\hat{HBI};\hat{KHD}` ở vị trí đồng vị

`=>HD`//$BI$ $(1)$

$\\$

Ta có: `\hat{ADH}=90°` (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

`=>HD`$\perp AK$ $(2)$

Từ `(1);(2)=>BI`$\perp AK$

$\\$

Xét $∆ABK$ có:

$\quad BI\perp AK$

$\quad AH\perp BK$

$\quad BI$ cắt $AH$ tại $I$

`=>I` là trực tâm $∆ABK$

Đáp án:

Giải thích các bước giải:

 a) ta có góc ABC=góc IAN (cùng phụ BAH)

xét tam giác IAN cân tại I (IA=IN=$\frac{1}{2}$AH)

ta có góc IAN=góc INA

=>góc ABC=góc INA

xét tam giác ACB vuông tại A và tam giác AMN vuông tại A ta có 

       góc ABC=góc INA 

=>tam giác ACB đồng dạng tam giác AMN

b)  trong đường tròn (AH) ta có góc ANH =90 độ  (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

=>ta giác NHC vuông tại N

xét tam giác NHC vuông tại N có trung tuyến NK=>NK=HK=KC

  xét tam giác NKC có NK=KC =>tam giác NKC cân tại K

     =>góc KNC=góc KCN

   mà góc INA=góc ABC

    =>góc KNC+góc INA=90 độ (=góc ABC+ góc KCN)

xét góc KNC=180 độ

    <=>góc KNC+góc INA+góc INK=180

     =>góc INK+90=180

     =>góc INK=90 độ

=>IN⊥KN={N}

=>KN là tiếp tuyến đường tròn (AH)

c) 

xét tam giác ABC⊥ tại A có đường cao AH

⇒AH²=HB.HC (hệ thức lượng)

=>$\frac{AH}{HB}$=$\frac{HC}{AH}$ 

mà AH=2HI;HC=2HK

=>$\frac{2HI}{HB}$=$\frac{2HK}{AH}$ 

=>$\frac{HI}{HB}$=$\frac{HK}{AH}$ 

xét tam giác BHI vuông tại H và tam giác AHK có 

     có $\frac{HI}{HB}$=$\frac{HK}{AH}$ 

=>tam giác BHI đồng dạng ta giác AHK

   =>góc HBI=góc HAK

gọi D là giao điểm của AK với đường tròn (AH) 

ta có góc HAD=góc DHK (đều phụ góc AHD)

  mà góc HBI=góc HAK

    =>góc DHK=góc HBI mà chúng ở vị trí đồng vị nên BI//HD

    mà HD⊥AK  (góc nội tiếp chắn hai nửa đường tròn (AH)

 nên BI⊥AK

 xét tam giác ABK có BI⊥AK

                                  AH⊥BK

                                  AHgiao BI tại I

=>I là trực tâm của tam giác ABK 

xin 5 sao và ctlhn nha