Giải thích các bước giải:

a, Xét tứ giác $APOQ$ có:

$\widehat {APO} = \widehat {AQO} = {90^0}$

⇒ $\widehat {APO} + \widehat {AQO} = {180^0}$

mà hai góc này là 2 góc đối

⇒ Tứ giác $APOQ$ là tứ giác nội tiếp 

⇒ 4 điểm A, P, O, Q cùng thuộc 1 đường tròn (đpcm)

b, Xét ΔAKN vàΔPAK có:

* $\widehat{AKP}$ chung; 

* $\widehat{APN}$ = $\widehat{AMP}$ (2 góc nội tiếp cùng chắn cung NP)

mà $\widehat{NAK}$ = $\widehat{AMP}$ (PM ║ AQ)

⇒ $\widehat{NAK}$ = $\widehat{APN}$

hay $\widehat{NAK}$ = $\widehat{APK}$

⇒ΔAKN ~ ΔPKA (g.g) 

⇒ $\frac{AK}{PK}$ = $\frac{AN}{PA}$

⇒ AK.PA = AN.PK (đpcm)

c, Ta có $AQ ⊥ QS$ (AQ là tiếp tuyến của (O) ở Q)

Mà $PM ║ AQ$ (gt) ⇒ $PM⊥ QS$

Đường kính $QS ⊥ PM$ nên $QS$ đi qua điểm chính giữa của cung PM nhỏ

⇒ sđ$\widehat {PS}$ = sđ$\widehat {SM}$

⇒ $\widehat {PNS} = \widehat {SNM}$ (hai góc nội tiếp chắn 2 cung bằng nhau)

mà  $\widehat {PNS} = \widehat {PQO}$ (2 góc cùng chắn 1 cung)

và  $\widehat {OPQ} = \widehat {PQO}$ (ΔOPQ cân tại O)

⇒ $\widehat {OPQ} = \widehat {SNM}$ (đpcm)

d, Chứng minh được ΔAQO vuông ở $Q$, có $QG ⊥ AO$ (theo tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau)

Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có:

$OQ^2$ = OI.OA

⇒ OI = $\frac{{O{Q^2}}}{{OA}} = \frac{{{R^2}}}{{3R}} = \frac{1}{3}R$

⇒ AI = OA - OI = 3R - $\frac{1}{3}R = \frac{8}{3}R$

Do ΔKNQ ~ ΔKQP  (g.g)

⇒ $KQ^2 = KN.KP$

mà $AK^2 = NK.KP$ nên $AK = KQ$

Vậy ΔAPQ có các trung tuyến $AI$ và $PK$ cắt nhau ở $G$ nên $G$ là trọng tâm

⇒ $AG = \frac{2}{3}AI = \frac{2}{3}.\frac{8}{3}R = \frac{{16}}{9}R$