Vì đường thẳng $d$ song song với $\Delta: 3x-4y+1=0$ nên phương trình d có dạng $3x-4y+c=0(c\ne 1$)

Chọn $A(1;1)$ thuộc $\Delta$. Vì khoảng cách từ d tới $\Delta$ bằng 1 cũng chính là khoảng cách từ $A$ đến $d$

$\begin{array}{l} d\left( {A,d} \right) = \dfrac{{\left| {3.1 - 4.1 + c} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2}} }} = 1\\  \Leftrightarrow \left| {c - 1} \right| = 5 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} c - 1 = 5\\ c - 1 =  - 5 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} c = 6\\ c =  - 4 \end{array} \right. \end{array}$

$ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} \left( d \right):3x - 4y + 6 = 0\\ \left( d \right):3x - 4y - 4 = 0 \end{array} \right.$

Đáp án:

 $\left[ \begin{array}{l}m=6\\m=-4\end{array} \right.⇒\left[ \begin{array}{l}d:\,3x-4y+6=0\\d:\,3x-4y-4=0\end{array} \right.$

Giải thích các bước giải:

$Δ:\,3x-4y+1=0$

$d//Δ$

$⇒d$ có dạng $(d):\,3x-4y+m=0\,\,(m\ne 1)$

Ta có: $\begin{cases}x=1\\y=1\end{cases}$ là nghiệm của phương trình: $3x-4y+1=0$

$⇒M(1;1)\in Δ$

Khoảng cách từ $d$ đến $Δ$ bằng $1$

$⇒d_{(d,Δ)}=d_{(M,d)}=1$

$⇒\dfrac{|3.1-4.1+m|}{\sqrt{3^2+4^2}}=1$

$⇒|m-1|=\sqrt{25}=5$

$⇒\left[ \begin{array}{l}m-1=5\\m-1=-5\end{array} \right.⇒\left[ \begin{array}{l}m=6\\m=-4\end{array} \right.⇒\left[ \begin{array}{l}d:\,3x-4y+6=0\\d:\,3x-4y-4=0\end{array} \right.$