Giải thích các bước giải:

 a) Ta có:

$\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
\widehat {AHC} = \widehat {BKC} = {90^0}\\
\widehat Cchung
\end{array} \right.\\
 \Rightarrow \Delta ACH \sim \Delta BCK\left( {g.g} \right)
\end{array}$

b) Ta có:

$\begin{array}{l}
\Delta ACH \sim \Delta BCK\left( {g.g} \right)\\
 \Rightarrow \dfrac{{AC}}{{BC}} = \dfrac{{CH}}{{CK}}\\
 \Rightarrow CK = \dfrac{{BC.CH}}{{AC}}\\
 \Rightarrow CK = \dfrac{{50}}{{13}}cm
\end{array}$

Vậy $CK = \dfrac{{50}}{{13}}cm$

c) Ta có:

$\Delta ABC$ cân ở $A$ 

$\to AH $ là phân giác của góc $A$

$ \Rightarrow \widehat {ABH} = \widehat {IAK} = \dfrac{1}{2}\widehat {BAC}$

Khi đó

$\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
\widehat {AHB} = \widehat {AKI} = {90^0}\\
\widehat {ABH} = \widehat {AIK}
\end{array} \right.\\
 \Rightarrow \Delta AHB \sim \Delta AKI\left( {g.g} \right)\\
 \Rightarrow \widehat {ABH} = \widehat {AIK}\\
 \Rightarrow {180^0} - \widehat {ABH} = {180^0} - \widehat {AIK}\\
 \Rightarrow {180^0} - \widehat {ACH} = \widehat {AIB}\\
 \Rightarrow \widehat {AIB} = {180^0} - \widehat {KCH}(1)
\end{array}$

Lại có:

$H$ là trung điểm của cạnh huyền $BC$ của $\Delta BKC$

$\to HC=HK$

$\to \Delta HKC$ cân ở $H$

$ \Rightarrow \widehat {HKC} = \widehat {HCK}(2)$

Từ $(1),(2)$$ \Rightarrow \widehat {AIB} = {180^0} - \widehat {HKC}$

$ \Rightarrow \widehat {AIB} = \widehat {AKH}$

d) Ta có:

$\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
AIchung\\
\widehat {BAI} = \widehat {CAI} = \dfrac{1}{2}\widehat {BAC}\\
AB = AC
\end{array} \right.\\
 \Rightarrow \Delta BAI = \Delta CAI\left( {g.g} \right)\\
 \Rightarrow {S_{BAI}} = {S_{CAI}}
\end{array}$

Lại có:

$\begin{array}{l}
AI.BC + BI.AC + CI.AB\\
 = \left( {AH - IH} \right).BC + 2.\left( {BK - IK} \right).AC\\
 = AH.BC - IH.BC + 2BK.AC - 2IK.AC\\
 = AH.BC + 2BK.AC - IH.BC - 2IK.AC\\
 = 2S + 2.2S - 2{S_{BIC}} - 2.2{S_{AIC}}\\
 = 6S - 2\left( {{S_{BIC}} + 2{S_{AIC}}} \right)\\
 = 6S - 2.S\\
 = 4S
\end{array}$