Giải thích các bước giải:

b) Ta có:

$\widehat {AMB} = \widehat {AEB} = {90^0}$

$\to BM\bot AC;AE\bot BC=E$ mà $AE\cap BM=D$

$\to D$ là trực tâm của tam giác $ACB$

$\to CD\bot AB=H$

a) Ta có:

$\widehat {AMD} + \widehat {AHD} = {90^0} + {90^0} = {180^0}$

$\to$ Tứ giác $AMDH$ nội tiếp.

Lại có:

$\widehat {BHD} + \widehat {BED} = {90^0} + {90^0}$

$\to $ Tứ giác $BEDH$ nội tiếp.

c) Gọi $I$ là trung điểm của $CD$

Ta sẽ chứng minh:

$IM,IE$ lần lượt là tiếp tuyến của $(O)$ tại $M,E$

Lại có:

$I$ là trung điểm của cạnh huyền của tam giác $CMD$ 

$\to IM=ID$

$ \Rightarrow \Delta IMD$ cân ở $I$

$\begin{array}{l}
 \Rightarrow \widehat {IMD} = \widehat {IDM}\\
 \Rightarrow \widehat {IMD} = \widehat {MAH}\left( 1 \right)
\end{array}$

Mặt khác:

$O$ là trung điểm của cạnh huyền của tam giác $AMB$

$\to OM=OB$

$\to \Delta OMB$ cân ở $O$

$ \Rightarrow \widehat {OMB} = \widehat {OBM}\left( 2 \right)$

Từ $\left( 1 \right),\left( 2 \right) \Rightarrow \widehat {IMD} + \widehat {OMB} = \widehat {MAH} + \widehat {OBM}$

$\begin{array}{l}
 \Rightarrow \widehat {OMI} = {90^0}\\
 \Rightarrow OM \bot IM = M
\end{array}$

$\to IM$ là tiếp tuyến của $(O)$ tại $M$ 

Hoàn toàn tương tự: $IE$ là tiếp tuyến của $(O)$ tại $E$

$\to $ Tiếp tuyến của $(O)$ tại $M,E$ cắt nhau tại $I$ là một điểm nằm trên $CD$

d) Ta có:

$AMEB$ là tứ giác nội tiếp

$ \Rightarrow \widehat {DME} = \widehat {DAB} \Rightarrow \widehat {DME} = \widehat {DAH}$

Mà $AMDH$ là tứ giác nội tiếp

$ \Rightarrow \widehat {DMH} = \widehat {DAH}$

$ \Rightarrow \widehat {DMH} = \widehat {DME}$

$\to $ Tứ giác $MD$ là phân giác $\widehat {HME}$

Tương tự với các đường $ED,HD$ lần lượt là phân giác của $\widehat{HEM};\widehat{MHE}$

$\to MD,ED,HD$ lần lượt là phân giác của $\widehat {HME};\widehat{HEM};\widehat{MHE}$ và giao nhau tại $D$

$\to D$ là tâm đường tròn nội tiếp $\Delta MHE$