Lời giải:

Ta có:

$HK//BD$ (tính chất đường trung bình)

$\Rightarrow HK//(SBD)$

$\Rightarrow d(HK;SD)= d(HK;(SBD))= d(H;(SBD))$

Gọi $O$ là tâm của đáy

$\Rightarrow OA = OB = OC = OD =\dfrac{a\sqrt2}{2}$

Áp dụng định lý Pytago ta được:

$+)\quad HD^2 = HA^2 + AD^2$

$\Rightarrow HD^2 = \dfrac{a^2}{4} + a^2$

$\Rightarrow HD^2 =\dfrac{5a^2}{4}$

$+)\quad SD^2 = HD^2 + SH^2$

$\Rightarrow SH^2 = SD^2 - HD^2$

$\Rightarrow SH^2 = \dfrac{17a^2}{4} - \dfrac{5a^2}{4}$

$\Rightarrow SH^2 = 3a^2$

Từ $H$ kẻ $HM\perp BD$

$\Rightarrow\begin{cases}HM//AO\\HM =\dfrac12AO= \dfrac{a\sqrt2}{4}\end{cases}$

Ta có:

$\begin{cases}BD\perp HM\quad \text{(cách dựng)}\\SH\perp BD\quad (SH\perp (ABCD))\end{cases}$

$\Rightarrow BD\perp (SHM)$

Trong $mp(SHM)$ kẻ $HN\perp SM$

$\Rightarrow BD\perp HN$

Khi đó:

$\begin{cases}HN\perp BD\quad (cmt)\\HN\perp SM\quad \text{(cách dựng)}\end{cases}$

$\Rightarrow HN\perp (SBD)$

$\Rightarrow HN = d(H;(SBD))$

Áp dựng hệ thức lượng trong $\triangle SHM$ vuông tại $H$ đường cao $HN$ ta được:

$\dfrac{1}{HN^2}=\dfrac{1}{SH^2} +\dfrac{1}{HM^2}$

$\Rightarrow \dfrac{1}{HN^2}= \dfrac{1}{3a^2} + \dfrac{1}{\dfrac{a^2}{8}}$

$\Rightarrow HN= \dfrac{a\sqrt3}{5}$

Vậy $d(HK;SD)=\dfrac{a\sqrt3}{5}$