Đáp án:

$d(BD;SA) = \dfrac{a\sqrt3}{3}$

Giải thích các bước giải:

Ta có:

$\begin{cases}BD\perp AO\quad (BD\perp AC)\\SO\perp BD\quad (SO\perp (ABCD))\end{cases}$

$\Rightarrow BD\perp (SOA)$

Trong $mp(SOA)$ kẻ $OH\perp SA$

$\Rightarrow BD\perp OH$

Khi đó:

$\begin{cases}OH\perp SA\quad \text{(cách dựng)}\\OH\perp BD\quad (cmt)\end{cases}$

$\Rightarrow OH$ là đoạn vuông góc chung của $BD$ và $SA$

$\Rightarrow OH = d(BD;SA)$

Áp dụng định lý $Pythagoras$ ta được:

$+)\quad AB^2 = OA^2 + OB^2$

$\Rightarrow OA^2 = AB^2 - OB^2 = a^2 - \dfrac{a^2}{3}$

$\Rightarrow OA = \dfrac{a\sqrt6}{3}$

$+)\quad SB^2 = SO^2 + OB^2$

$\Rightarrow SO^2 = SB^2 - OB^2 = a^2 - \dfrac{a^2}{3}$

$\Rightarrow SO = \dfrac{a\sqrt6}{3}$

$\Rightarrow SO = OA$

$\Rightarrow \triangle SOA$ vuông cân tại $O$

$\Rightarrow OH = \dfrac12SA = \dfrac12\cdot \dfrac{a\sqrt6}{3}\cdot \sqrt2$

$\Rightarrow OH = \dfrac{a\sqrt3}{3}$

Vậy $d(BD;SA) = \dfrac{a\sqrt3}{3}$