a.???

b. Ta có: `ΔABC` cân tại A `=> ∠ABC = ∠ACB = (180^o - ∠BAC) : 2 ; AB = AC`

              BM = CN

`=> AB - BM = AC - CN`

`=> AM = AN`

`=> ∠AMN = (180^o - ∠BAC) : 2`

`=> ∠AMN = ∠ABC`

Mà 2 góc này ở vị trí so le trong

`=>` BC // MN   (đpcm)

c) Xét `ΔABN` và `ΔACM` có:

AB = AC (cmt)

`∠A` chung

AM = AN (cmt)

`=> ΔABN = ΔACM (c.g.c)`

`=> ∠B_{1} = ∠C_{1}` (2 góc tương ứng)

Lại có: `∠ABC = ∠ACB`

`=> ∠ABC - B_{1} = ∠ACB - ∠C_{1}`

`=> ∠B_{2} = ∠C_{2}`

`=> ΔBCI` cân tại I

`=> BI = CI` 

Xét `ΔABI` và `ΔACI` có:

AB = AC (cmt)

`∠B_{1} = ∠C_{1}` (cmt)

BI = CI (cmt)

`=> ΔABI = ΔACI (c.g.c)`

`=> ∠A_{1} = ∠A_{2}`

`=> AI` là đường phân giác của `ΔAMN` cân tại A

`=> AI` cũng là đường trung trực của MN   (đpcm)

Đáp án:

`b,`

Ta có : \(\left\{ \begin{array}{l}AM = AB - BM\\AN = AC - CN\end{array} \right.\)

mà `AB = AC, BM = CN`

`-> AM = AN`

`-> ΔAMN` cân tại `A`

`-> hat{AMN} = hat{ANM} = (180^o - hat{A})/2` `(1)`

$\\$

Vì `ΔABC` cân tại `A`

`-> hat{ABC} = hat{ACB} = (180^o - hat{A})/2` `(2)`

$\\$

Từ `(1)` và `(2)`

`-> hat{AMN} = hat{ABC} (= (180^o - hat{A})/2)`

mà 2 góc này ở vị trí đồng vị

$→ MN//BC$

$\\$

$\\$

$c,$

Ta có : `AM = AN` (chứng minh trên)

`->A` nằm trên đường trung trực của `MN` `(3)`

$\\$

Xét `ΔBMC` và `ΔCNB` có :

`BM = CN` (giả thiết)

`hat{B} = hat{C}` (Vì `ΔABC` cân tại `A`)

`BC` chung

`-> ΔBMC = ΔCNB` (cạnh - góc - cạnh)

`-> hat{ICB} = hat{IBC}` (2 góc tương ứng), `CM =  BN` (2 cạnh tương ứng)

`-> ΔBIC` cân tại `I`

`-> IB = IC` 

Ta có : \(\left\{ \begin{array}{l}MI = CM - IC\\NI = BN - IB\end{array} \right.\)

mà `IB = IC, BN = CM`

`-> MI = NI`

`-> I` nằm trên đường trung trực của `MN` `(4)`

$\\$

Từ `(3)` và `(4)`

`-> AI` là đường trung trực của `MN`