Giải thích các bước giải:

 a) Ta có:

$\widehat {AMN} + \widehat {AKN} = {90^0} + {90^0} = {180^0}$

$\to $ Tứ giác $AMNK$ là tứ giác nội tiếp.

b) Ta có:

$\begin{array}{l}
\Delta CAB;\widehat {CAB} = {90^0};AM \bot CB = M\\
 \Rightarrow C{A^2} = CM.CB
\end{array}$

c) Ta có:

$\widehat {MAD} = \widehat {MBD}\left( 1 \right)$

Lại có:

$\widehat {ADB} = {90^0} \Rightarrow BD \bot AD$

Mà $CA,CD$ là hai tiếp tuyến cắt nhau tại $C$ của đường tròn $(O)$

$\to CA=CD$

Mặt khác: $OA=OD$

$\to CO$ là trung trực của $AD$ 

$\begin{array}{l}
 \Rightarrow CO \bot AD\\
 \Rightarrow BD//CO\left( { \bot AD} \right)\\
 \Rightarrow \widehat {MBD} = \widehat {MCO}\\
 \Rightarrow \widehat {MBD} = \widehat {OCB}\left( 2 \right)
\end{array}$

Từ $\left( 1 \right),\left( 2 \right) \Rightarrow \widehat {MAD} = \widehat {OCB}$

d) Kéo dài đường thẳng $BD$, cắt đường thẳng $AC$ tại $E$

 Ta có:

$\Delta CAD$ cân ở $C$ (do $CA=CD$)

$\begin{array}{l}
 \Rightarrow \widehat {CAD} = \widehat {CDA}\\
 \Rightarrow {90^0} - \widehat {CAD} = {90^0} - \widehat {CDA}\\
 \Rightarrow \widehat {AED} = \widehat {CDE}\\
 \Rightarrow \widehat {CED} = \widehat {CDE}\\
 \Rightarrow \Delta CED\text{cân ở C}
\end{array}$

$\to CE=CD$

$\to CE=CA(=CD)$

Lại có:

$DK//AE(\bot AB)$

Áp dụng ĐL Thales cho tam giác $BCE$ và $BCA$ ta có:

$\begin{array}{l}
\dfrac{{DN}}{{CE}} = \dfrac{{BN}}{{BC}};\dfrac{{KN}}{{AC}} = \dfrac{{BN}}{{BC}}\\
 \Rightarrow \dfrac{{DN}}{{CE}} = \dfrac{{KN}}{{AC}}\\
 \Rightarrow DN = KN\left( {do:CE = AC} \right)
\end{array}$

$\to N$ là trung điểm của $DK$

Đáp án:

Giải thích các bước giải:

 Hihomhimhi