Đáp án:

\(\begin{array}{l}
\text{Câu 39:}\quad C.\quad f(2) - 4\\
\text{Câu 40:}\quad A.\quad 1024\\
\text{Câu 41:}\quad B.\quad \dfrac{23}{6}
\end{array}\) 

Giải thích các bước giải:

\(\begin{array}{l}
\text{Câu 39:}\\
\quad g(x) = f(2x) - 4x\\
\Rightarrow g'(x) = 2f'(2x) - 4\\
g'(x) = 0 \Leftrightarrow f'(2x) = 2\qquad (*)\\
\text{Dựa vào sự tương giao giữa hai đồ thị hàm số $y = f'(2x)$}\\
\text{ và đường thẳng $y = 2$, ta được:}\\
(*)\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}
2x = a,\quad a\in (-\infty;-3)\\
2x = 0\\
2x = 2\\
2x = b,\quad b \in (4;+\infty)
\end{array}\right.\\
\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}
x = a',\quad a'\in \left(-\infty;-\dfrac32\right)\\
x = 0\\
x = 1\\
x = b',\quad b' \in (2;+\infty)
\end{array}\right.\\
\text{Ta có bảng xét dấu:}\\
\begin{array}{c|ccc}
x&\infty&&a'&&-\dfrac32&&0&&1&&2&&b'&&+\infty\\
\hline
g'(x)&&-&0&+&\vert&+&0&+&0&-&\vert&-&0&+
\\\end{array}\\
\text{Dựa vào bảng xét dấu, ta được:}\\
\mathop{\max}\limits_{\left[-\tfrac32;2\right]}g(x) = g(1) = f(2) - 4\\
\text{Câu 40:}\\
\quad \left(2^{x+1} - \sqrt2\right)\left(2^x - y\right) < 0\\
\Leftrightarrow \dfrac{\sqrt2}{2} < 2^x < y\\
\Leftrightarrow - \dfrac12 < x < \log_2y\\
\Leftrightarrow 0 \leqslant x \leqslant \log_2y - 1\\
Ycbt \Leftrightarrow \left(\log_2y - 1\right) - 0 + 1 \leqslant 10\\
\Leftrightarrow \log_2y \leqslant 10\\
\Leftrightarrow 1 \leqslant y \leqslant 2^{10}\\
\Rightarrow y \in \underbrace{\{1;2;3;\dots;1023;1024\}}_{\text{1024 giá trị y}}\\
\text{Câu 41:}\\
\quad I = \displaystyle\int\limits_0^{\tfrac{\pi}{2}}f(2\sin x + 1)\cos xdx\\
\text{Đặt}\ u = 2\sin x + 1\\
\Rightarrow du = 2\cos xdx\\
\text{Đổi cận:}\\
\begin{array}{c|cc}
x&\quad 0\quad&\quad \dfrac{\pi}{2}\quad\\
\hline
u&\quad 1\quad&\quad 3\quad
\\\end{array}\\
\text{Ta được:}\\
\quad I = \dfrac12\displaystyle\int\limits_1^3f(u)du\\
\Leftrightarrow I = \dfrac12\left(\displaystyle\int\limits_1^2f(u)du + \displaystyle\int\limits_2^3f(u)du\right)\\
\Leftrightarrow I = \dfrac12\left(\displaystyle\int\limits_1^2(u^2  -2u + 3)du + \displaystyle\int\limits_2^3(u^2 - 1)du\right)\\
\Leftrightarrow I = \dfrac12\left[\left(\dfrac{u^3}{3} - u^2 + 3u\right)\Bigg|_1^2 + \left(\dfrac{u^3}{3} - u\right)\Bigg|_2^3 \right]\\
\Leftrightarrow I = \dfrac12\left(\dfrac73 + \dfrac{16}{3}\right)\\
\Leftrightarrow I = \dfrac{23}{6}
\end{array}\) 

Đáp án:

39C

40A

41B

Giải thích các bước giải:

$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}} 39.\ \\ Đặt\ 2x=t\ ( t\in [ -3;4])\\ Khi\ đó\ :\ g( t) =f( t) -2t\\ g'( t) =f'( t) -2\\ Dựa\ vào\ đồ\ thị\ hàm\ số:\\ g'( t) =0\Leftrightarrow t=0;\ t=2\\ Ta\ có\ bảng\ biến\ thiên\ như\mathbf{\ hình\ 1}\\ Vậy\ max_{[ -3;4]} g( t) =g( 2) =f( 2) -4\\ 40.\ \\ \left( 2^{x} -\sqrt{2}\right)\left( 2^{x} -y\right) < 0\\ \Leftrightarrow \ \left( 2^{x} -\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\left( 2^{x} -y\right) < 0\ ( *)\\ Ta\ có\ y\in \mathbb{Z}^{*} \Rightarrow y >\frac{\sqrt{2}}{2}\\ Khi\ đó\ ( *) \Leftrightarrow \frac{\sqrt{2}}{2} < 2^{x} < y\\ \Leftrightarrow -\frac{1}{2} < x< \log_{2} y\\ Do\ với\ mỗi\ giá\ trị\ của\ y\ không\ có\ \\ quá\ 10\ giá\ trị\ của\ x\ tương\ ứng\\ \Rightarrow \log_{2} y\leqslant 10\\ \Rightarrow y\leqslant 2^{10} =1024\\ 41.\\ Đặt\ t=2sinx+1\\ \Rightarrow dt=2cosxdx\\ Ta\ có\ I=\frac{1}{2}\int _{1}^{3} f( t) dt=\frac{1}{2}\int _{1}^{2}\left( t^{2} -2t+3\right) dt+\frac{1}{2}\int _{1}^{3}\left( t^{2} -1\right) dt=\frac{23}{6} \end{array}$