Đáp án:

$\begin{align}
  & a){{v}_{TB}}=1,22cm/s;{{v}_{TDTB}}=11,22cm \\ 
 & b){{v}_{5}}=\dfrac{5\sqrt{30}}{2}cm;{{v}_{TDTB5}}=\dfrac{50}{9}cm/s \\ 
 & {{v}_{35}}=\dfrac{5\sqrt{30}}{2}cm/s;{{v}_{TDTB35}}=10cm/s \\ 
 & {{v}_{2021}}=-\dfrac{5\sqrt{30}}{2}cm/s;{{v}_{TDTB2021}}=10cm/s \\ 
\end{align}$

Giải thích các bước giải:

$x=5cos(\pi t+\frac{\pi }{3})$

a) Chu kì:

$T=\frac{2\pi }{\omega }=\frac{2\pi }{\pi }=2s$

thời điểm ban đầu:

${{x}_{0}}=2,5cm=\dfrac{A}{2}$

đang đi theo chiều âm

* vận tốc trung bình:

${{v}_{TB}}=\dfrac{{{x}_{2}}-{{x}_{1}}}{t}=\dfrac{\frac{5\sqrt{3}}{2}-\dfrac{5}{2}}{1,5}=1,22cm$

* tốc độ trung bình:

thời gian: $t=1,5s=\dfrac{3T}{4}=\dfrac{T}{2}+\dfrac{T}{4}$

Theo trục thời gian ta có quãng đường vật đi được là:

$S=\dfrac{A}{2}+2A+\dfrac{A\sqrt{3}}{2}=2,5+10+2,5\sqrt{3}=12,5+2,5\sqrt{3}(cm)$

tốc độ trung bình:

${{v}_{TDTB}}=\dfrac{S}{t}=\dfrac{12,5+2,5\sqrt{3}}{1,5}=11,22cm/s$

b)  vận tốc khi x=-2,5cm, 1T vật qua vị trí đó theo chiêu 1 lần 

độ lớn vận tốc :

$\begin{align}
  & {{x}^{2}}+\frac{{{v}^{2}}}{{{\omega }^{2}}}={{A}^{2}} \\ 
 & \Leftrightarrow {{(2,5)}^{2}}+\frac{{{v}^{2}}}{{{\pi }^{2}}}={{5}^{2}} \\ 
 & \Rightarrow v=\pm \frac{5\sqrt{30}}{2}cm \\ 
\end{align}$

*  trong lần thứ 5 theo chiều (+) 

+ vận tốc: $v=\dfrac{5\sqrt{30}}{2}cm$

+ tốc độ trung bình :

Thời gian vật qua vị trí đó theo chiều dương lần thứ nhất:

${{t}_{1}}=\dfrac{T}{12}+\dfrac{T}{4}+\dfrac{T}{6}=\dfrac{T}{2}$

tổng thời gian 5 lần vật qua: 

${{t}_{5}}=4T+{{t}_{1}}=4T+\frac{T}{2}=9s$

quãng đường đi trong 5 lần: 

${{S}_{5}}=4.4.A+2A=50cm$

tốc độ trung bình: ${{v}_{TDTB5}}=\frac{50}{9}cm/s$

* lần thứ 35 theo chiều dương :

+ vận tốc: $v=\frac{5\sqrt{30}}{2}cm$

+ tốc độ trung bình :

Thời gian vật qua vị trí đó theo chiều dương lần thứ nhất:

${{t}_{1}}=\dfrac{T}{12}+\dfrac{T}{4}+\dfrac{T}{6}=\dfrac{T}{2}$

tổng thời gian 35 lần vật qua: 

${{t}_{35}}=34.T+{{t}_{1}}=34T+\frac{T}{2}=69s$

quãng đường đi:

${{S}_{35}}=34.4.A+2A=690cm$

tốc độ trung bình:

${{v}_{TDTB35}}=\dfrac{690}{69}=101cm/s$

* lần 2021 theo chiều âm

+ vận tốc tức thời: $v=-\dfrac{5\sqrt{30}}{2}cm$

+ tốc độ trung bình:

thời gian lần thứ nhất vật qua theo chiều âm: ${{t}_{1}}=\dfrac{T}{6}$

thời gian 2021 lần: $t=2020T+{{t}_{1}}=2020T+\dfrac{T}{6}=\dfrac{12121}{3}s$

quãng đường:

${{S}_{2021}}=2020.4A+A=40405cm$

 tốc độ trung bình:

${{v}_{TDTB2021}}=\dfrac{40405}{12121:3}=10cm/s$