Giải thích các bước giải:

1.Ta có $AB,AC$ là tiếp tuyến của $(O)\to AB\perp OB, AC\perp OC$

Vì $E$ là trung điểm $MN\to OE\perp MN$ 

$\to \widehat{ABO}=\widehat{AEO}=\widehat{ACO}=90^o$

$\to A,B,E,O,C\in$ đường tròn đường kính $AO$

$\to A,B,O,E$ nội tiếp đường tròn đường kính $AO$

$\to$Tâm đường tròn là trung điểm $AO$

2.Từ $1\to ABOC$ nội tiếp

$\to \widehat{BOC}+\widehat{BAC}=180^o$

$\to 2\widehat{BNC}+\widehat{BAC}=180^o$

3.Xét $\Delta ACM,\Delta ACN$ có:

Chung $\hat A$

$\widehat{ACM}=\widehat{ANC}$ vì $AC$ là tiếp tuyến của $(O)$

$\to\Delta ACM\sim\Delta ANC(g.g)$

$\to\dfrac{AC}{AN}=\dfrac{AM}{AC}$

$\to AC^2=AM.AN$

Ta có:
$4(AE^2-AC^2)$

$=4(AE^2-AM.AN)$

$=4(AE^2-(AE-ME).(AE+EN))$

$=4AE^2-4(AE-ME)(AE+NE)$

$=4AE^2-(2AE-2ME)(2AE+2NE)$

$=4AE^2-(2AE-MN)(2AE+MN)$

$=4AE^2-(4AE^2-MN^2)$

$=MN^2$

4.Kẻ $MK\perp BC$

Ta có $MI\perp AB, MJ\perp AC$

$\to\widehat{MIB}=\widehat{MKB}=90^o,\widehat{MKC}=\widehat{MJC}=90^o$

$\to MIKB, MJCK$ nội tiếp

$\to \widehat{MIK}=\widehat{MBK}=\widehat{MBC}=\widehat{MCJ}$ vì $AC$ là tiếp tuyến của $(O)$

Tương tự $\widehat{MKI}=\widehat{MJK}$

$\to\Delta MIK\sim\Delta MKJ(g.g)$

$\to\dfrac{MI}{MK}=\dfrac{MK}{MJ}$

$\to MI.MJ=MK^2$

Gọi $AO\cap BC=H, AO\cap (O)=D$

Vì $AB,AC$ là tiếp tuyến của $(O)\to AO\perp BC=H$ là trung điểm $BC$

$\to MK\le DH$

$\to MI.MJ\le DH^2$

Dấu = xảy ra khi $M\equiv D$