Hình chóp đều $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$ và các mặt bên là các tam giác đều cạnh $a$

Gọi $I$ là giao điểm của $AC$ và $BD$

Suy ra $I$ là trung điểm của $BD$

$M$ là trung điểm của $SC$

$∆SBC$ và $∆SDC$ là hai tam giác đều bằng nhau

Suy ra $MB=MD$

Xét $∆MBD$ có

$MB=MD$

$I$ là trung điểm $BD$

Suy ra $∆MBD$ cân tại $M$ có $MI$ là trung tuyến nên $MI$ là đường cao

$\Rightarrow MI\perp BD\ (1)$

Xét $∆BCD$ có 

$BC=CD$

$I$ là trung điểm $BD$

Suy ra $∆BCD$ cân tại $C$ có $CI$ là trung tuyến nên $CI$ là đường cao

$\Rightarrow CI\perp BD\ (2)$

Ta có $BD$ là giao tuyến của $mp(MBD)$ và $mp(ABCD)\ (3)$

Từ $(1);(2);(3)$ suy ra

$(\widehat{(MBD);(ABCD)})=\widehat{(MI;CI)}=\widehat{MIC}$

$CI=\dfrac{AC}{2}=\dfrac{\sqrt{AB^2+BC^2}}{2}=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$

$∆SAC$ cân tại $S$ có $SI$ là trung tuyến nên $SI$ là đường cao $\Rightarrow SI\perp AC$

$SI=\sqrt{SC^2-CI^2}=\sqrt{a^2-(\frac{a\sqrt{2}}{2})^2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$

Xét $∆SIC$ có 

$SI=CI$

$M$ là trung điểm $SC$

$SI\perp CI$

Suy ra $∆SIC$ vuông cân tại $I$ có $IM$ là trung tuyến

$\Rightarrow MI=MC=\frac{SC}{2}=\frac{a}{2}$

Gọi$H$ là trung điểm $CI$

$IH=\frac{CI}{2}=\frac{a\sqrt{2}}{4}$

$∆MIC$ có 

$MI=MC$

$H$ là trung điểm $CI$

Suy ra $∆MIC$ cân tại $M$ có $MH$ là trung tuyến nên $MH$ là đường cao

Suy ra $∆MHI$ vuông tại H

$cos\widehat{MIH}=\frac{IH}{MI}=\frac{a\sqrt{2}}{4}:\frac{a}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}\\ \Rightarrow \widehat{MIH}=45°$

Suy ra góc giữa $mp(MBD)$ và $mp(ABCD)$ là $45°$

Bạn xem hình