Đáp án: $S_{ADE}=23(cm^2)$

Giải thích các bước giải:

Xét $ΔAEC$ vuông tại $E⇒∠A+∠ACE=90^o$

$⇒60^o+∠ACE=90^o⇒∠ACE=30^o$

Xét $ΔAEC$ vuông tại $E$ có $∠ACE=30^o$

`⇒AE=\frac{1}{2}AC⇒\frac{AE}{AC}=\frac{1}{2}`

Xét $ΔABD$ và $ΔACE$ có:

$∠ADB=∠AEC=90^o$

$∠A$ chung

`⇒ΔABD~ΔACE` (góc - góc)

`⇒\frac{AB}{AC}=\frac{AD}{AE}⇒\frac{AE}{AC}=\frac{AD}{AB}`

Xét $ΔADE$ và $ΔABC$ có:

$∠A$ chung

`\frac{AE}{AC}=\frac{AD}{AB}(cmt)`

`⇒ΔADE~ΔABC` (cạnh - góc - cạnh)

`⇒\frac{S_{ADE}}{S_{ABC}}=(\frac{AE}{AC})^2`

`⇒\frac{S_{ADE}}{92}=(\frac{1}{2})^2⇒S_{ADE}=23(cm^2)`

Ta sẽ chứng minh định lý: Trong một tam giác vuông cạnh kề với góc 60 độ bằng một nửa cạnh góc vuông còn lại.

Giả sử ta có \(ΔABC\) vuông tại \(A\) và có \(\widehat B=60^\circ\)

Kẻ trung tuyến \(AM\) ứng \(BC\)

\(→AM=\dfrac{1}{2}BC=MB=MC\)

mà \(\widehat B=60^\circ\)

\(→ΔAMB\) đều

\(→AB=AM=\dfrac{BC}{2}\)

Áp dụng định lý trên vào \(ΔABD,ΔAEC\) có \(\widehat A=60^\circ\)

\(→\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{AE}{AC}=\dfrac{1}{2}\)

Xét \(ΔABD\) và \(ΔACE\):

\(\widehat A:chung\)

\(\widehat{ADB}=\widehat{AEC}(=90^\circ)\)

\(→ΔABD\backsim ΔACE(g-g)\)

\(→\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{AE}{AC}=2\)

Xét \(ΔAED\) và \(ΔACB\):

\(\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{AE}{AC}(cmt)\)

\(\widehat A:chung\)

\(→ΔAED\backsim ΔACB(g-g)\)

\(→\dfrac{AB}{AD}=\dfrac{AC}{AE}=2\)

\(→\dfrac{S_{ΔABC}}{S_{ΔAED}}=2^2=4\) hay \(\dfrac{92}{S_{ΔAED}}=4\)

\(↔S_{ΔAED}=23(cm^2)\)

Vậy \(S_{ΔAED}=23cm^2\)