Đáp án:

$m\in \left\{1+\sqrt2;1+\dfrac{\sqrt2}{2}\right\}$

Giải thích các bước giải:

$\quad x^2 - mx + m - 1 = 0$

Phương trình có hai nghiệm phân biệt

$\Leftrightarrow \Delta > 0$

$\Leftrightarrow m^2 - 4(m-1) > 0$

$\Leftrightarrow (m-2)^2 > 0$

$\Leftrightarrow m \ne 2$

Gọi $x_1;\ x_2$ là hai nghiệm phân biệt của phương trình

Ta có: $x_1;\ x_2$ là độ dài hai cạnh của một tam giác vuông cân

mà $x_1\ne x_2$ nên hai cạnh là cạnh huyền và cạnh góc vuông

Giả sử $x_1$ là cạnh huyền

$\Rightarrow x_1 = x_2\sqrt2\quad (1)$

Theo định lý Viète ta có:

$\begin{cases}x_1 + x_2 =m\quad\ \ (2)\\x_1x_2 = m-1\quad (3)\end{cases}$

Từ $(1)(2)\Rightarrow \begin{cases}x_1 + x_2 = m\\x_1 - x_2\sqrt2 = 0\end{cases}$

$\Rightarrow\begin{cases}x_1 = m(2 -\sqrt2)\\x_2 = m(\sqrt2 -1)\end{cases}$

Thay vào $(3)$ ta được:

$\quad m^2(2 -\sqrt2)(\sqrt2 -1) = m -1$

$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}m = 1 +\sqrt2\\m = 1+\dfrac{\sqrt2}{2}\end{array}\right.\qquad (nhận)$

Ta nhận được kết quả tương tự khi $x_2 = x_1\sqrt2$

Vậy $m\in \left\{1+\sqrt2;1+\dfrac{\sqrt2}{2}\right\}$

`x^2-mx+m-1=0`

`\Delta=(-m)^2-4(m-1)`

`\Delta=m^2-4m+4`

`\Delta=(m-2)^2`

Để pt có 2 nghiệm phân biệt

`<=> \Delta>0`

`=> m \ne 2`

Với `m \ne 2` thì pt có 2 nghiệm phân biệt

Theo Viet: $\begin{cases} x_1+x_2=m (1)\\x_1.x_2=m-1 (2)\end{cases}$

Do `x_1;x_2` là độ dài 2 cạnh góc của `\triangle` vuông cân và `x_1 \ne x_2`

`=>` Giả sử `x_1` là độ dài cạnh góc vuông và `x_2` là độ dài cạnh huyền

`-> x_2=\sqrt{2}x_1` 

`-> \sqrt{2}x_1-x_2=0`(3)

Từ `(1)(3)` ta có hệ pt:

$\begin{cases}x_1+x_2=m\\\sqrt{2}x_1-x_2=0\end{cases}$

$⇔\begin{cases} (1+\sqrt{2})x_1=m\\x_1+x_2=m\end{cases}$

$⇔\begin{cases} x_1=(\sqrt{2}-1)m\\x_2=(2-\sqrt{2})m \end{cases}$

Thay `x_1=(\sqrt{2}-1)m; x_2=(2-\sqrt{2})m` vào (2) ta có:

`(\sqrt{2}-1)(2-\sqrt{2})m^2=m-1`

`<=> (-4+3\sqrt{2})m^2-m+1=0`

`\Delta=(-1)^2-4.1.(-4+3\sqrt{2})`

`\Delta=17-12\sqrt{2}`

`-> \sqrt{\Delta}=\sqrt{17-12\sqrt{2}}`

`=\sqrt{17-2.3\sqrt{8})`

`=\sqrt{8-2.3\sqrt{8}+9}`

`=\sqrt{(2\sqrt{2}-3)^2}`

`=|2\sqrt{2}-3|`

`=3-2\sqrt{2}`

Pt có 2 nghiệm phân biệt

`m_1=(1+3-2\sqrt{2})/(2(-4+3\sqrt{2}))=1+\sqrt{2}`

`m_2=(1-3+2\sqrt{2})/(2(-4+3\sqrt{2}))=(2+\sqrt{2})/2`

Vậy `m∈{1+\sqrt{2}; (2+\sqrt{2})/2 }`