Giải thích các bước giải:

 a) Ta có:

$\widehat {AHE} = \widehat {ACE} = {90^0}$

$\to $ Tứ giác $AHEC$ nội tiếp

b) Ta có:

$\begin{array}{l}
\widehat {ABD} = \widehat {HAD}(\text{góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung}\\
 \Rightarrow \widehat {ABD} = \widehat {DAC}
\end{array}$

Lại có:

Tứ giác $ABCD$ nội tiếp

$\begin{array}{l}
 \Rightarrow \widehat {DAC} = \widehat {DBC}\\
 \Rightarrow \widehat {ABD} = \widehat {DBC}\left( { = \widehat {DAC}} \right)
\end{array}$

c) Ta có:

$\widehat {ABD} = \widehat {DBC}$

$\to BD$ là phân giác $\widehat{ABE}$

Xét $\Delta ABE$ có:

$BD$ vừa là phân giác vừa là đuông cao của tam giác $ABE$

$\to \Delta ABE$ cân ở $B$

d) Ta có:

$\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
AB = EB\left( {\Delta ABE} \right)\\
\widehat {ABK} = \widehat {EBK}\left( {do:\widehat {ABD} = \widehat {EBD}} \right)\\
BKchung
\end{array} \right.\\
 \Rightarrow \Delta ABK \sim \Delta EBK\left( {c.g.c} \right)\\
 \Rightarrow \widehat {BAK} = \widehat {BEK}\\
 \Rightarrow \widehat {BEK} = {90^0}\\
 \Rightarrow KE \bot BE\\
 \Rightarrow KE//AF\left( { \bot BE} \right)
\end{array}$

Lại có:

$\Delta ABE$ có: $BD,AC$ là hai đường cao của tam giác $ABE$ và $AC\cap BD=F$

$\to F$ là trực tâm của tam giác $ABE$

$\to EF$ là đường cao của tam giác $ABE$

$\to EF\bot AB$

Mà $AK\bot AB\to AK//EF$

Như vậy:

Tứ giác $AKEF$ có: $AK//EF;KE//AF$

$\to $ Tứ giác $AKEF$ là hình bình hành

Mà $AE$ là phân giác $\widehat{KAF}$

$\to $ Tứ giác $AKEF$ là hình thoi

bạn xem hình