Đặt `A = 3/4 + 8/9 + 15/16 + ... + 2499/2500`

`⇒ A = 1 - 1/4 + 1 - 1/9 + 1 - 1/16 + ... + 1 - 1/2500`
`⇒ A = (1 + 1 + 1 + ... + 1) - ( 1/4 + 1/9 + 1/16 + ... + 1/2500)`

`⇒ A = 49 - (1/(2. 2) + 1/(3. 3) + 1/(4. 4) + ... + 1/(50. 50) )`

Đặt `B = 1/(2.2) + 1/(3.3) + 1/(4.4) + ... + 1/(50.50)`

`⇒ B < 1/(1.2) + 1/(2.3) + 1/(3.4) + ... + 1/(49.50)`
`⇒ B < 1 - 1/2 + 1/2 - 1/3 + 1/3 - 1/4 + ... + 1/49 - 1/50`

`⇒ B < 1 - 1/50 < 1`

`⇒ 1/(2. 2) + 1/(3. 3) + 1/(4. 4) + ... + 1/(50. 50) < 1`

`⇒ - (1/(2. 2) + 1/(3. 3) + 1/(4. 4) + ... + 1/(50. 50)) > 1`

$\text {⇒ 49 - (1/(2. 2) + 1/(3. 3) + 1/(4. 4) + ... + 1/(50. 50)) > 49 - 1 = 48}$

`⇒ A > 48`

`⇒ đpcm`

Đáp án:

 `3/4 + 8/9 + 15/16 +... +2499/2500>48`

Giải thích các bước giải:

`3/4+8/9+15/16+...+2499/2500`

ta thấy :

`3/4=1-3/4=1/4` `=>` `1-1/4=3/4`

`8/9=1-8/9=1/9` `=>` `1-1/9=8/9`

ta làm tưởng tự với các phân số khác nên :

`3/4+8/9+15/16+...+2499/2500`

`=(1-1/4)+(1-1/9)+(1-1/16)+...+(1-1/2500)`

`=1-1/4+1-1/9+1-1/16+...+1-1/2500`

`=(1+1+1+...+1)-(1/4+1/9+1/16+...+1/2500)`

ta thấy `1+1+1+...+1` có `49` số 1 nên ta có :

`=49-(1/4+1/9+1/16+...+1/2500)` 

ta thấy `(1/4+1/9+1/16+...+1/2500)` có thể viết ra là :

`=>` `1/2^2+1/3^2+1/4^2+...+1/50^2`

nên ta xét `1/2^2+1/3^2+1/4^2+...+1/50^2` 

_____________________________________________________

`1/2^2+1/3^2+1/4^2+...+1/50^2`

ta xét :

`1/2^2<1/1.2`

`1/3^2<1/2.3`

`1/4^2<1/3.4`

`.....`

`1/50^2<1/49.50`

`=>` `1/2^2+1/3^2+1/4^2+...+1/50^2` `<` `1/1.2+1/2.3+1/3.4+...+1/49.50`

ta tính dãy số : `1/1.2+1/2.3+1/3.4+...+1/49.50` 

`=` `1-1/2+1/2-1/3+1/3-1/4+...+1/49-1/50`

`=` `1-(1/2-1/2+1/3-1/3+1/4-...-1/49+1/50)`

`=` `1-1/50`

`=` `49/50`

`=>` `1/2^2+1/3^2+1/4^2+...+1/50^2` `<` `49/50` `<` `1`

nên : `1/2^2+1/3^2+1/4^2+...+1/50^2` `<` `1`

`=>` `-(1/2^2+1/3^2+1/4^2+...+1/50^2)` `>` `-1`

`=>` `49-(1/2^2+1/3^2+1/4^2+...+1/50^2)` `>` `49-1`

`=>` `49-(1/2^2+1/3^2+1/4^2+...+1/50^2)` `>` `48` 

`=>` điều phải chứng minh ( dpcm )

vậy `3/4 + 8/9 + 15/16 +... +2499/2500>48`