Trang chủ Toán Học Lớp 12 Câu 19: Cho hình chóp S.ABC có SA = 3a...

Câu 19: Cho hình chóp S.ABC có SA = 3a , SA tạo với mặt phẳng đáy một góc 60°. Tam giác ABC vuông tại B, ACB = 30°, G là trọng tâm tam giác ABC. Hai mặt ph

Câu hỏi :

Chỉ cần đáp án thôi ạ

image

Lời giải 1 :

Đáp án:

\(\begin{array}{l}19)\quad B.\ \dfrac{243}{112}a^3\\20)\quad D.\ \dfrac{12\sqrt3}{5}a^3\\21)\quad C.\ 3a^3\\22)\quad B.\ 45^\circ\\23)\quad B.\ 12a^3\end{array}\)

Giải thích các bước giải:

Câu 19:

Ta có:

Gọi $M$ là trung điểm $BC$

Ta có:

$\begin{cases}(SGB)\perp (ABC)\quad (gt)\\(SGC)\perp (ABC)\quad (gt)\\(SGB)\cap (SGC) = SG\end{cases}$

$\Rightarrow SG\perp (ABC)$

$\Rightarrow \widehat{(SA;(ABC))} = \widehat{SAG} = 60^\circ$

$\Rightarrow \begin{cases}SG = \dfrac{SA\sqrt3}{2} = \dfrac{3a\sqrt3}{2}\\AG = \dfrac12SA = \dfrac{3a}{2}\\AM = \dfrac32AG = \dfrac{9a}{4}\quad \text{(tính chất trọng tâm)}\end{cases}$

Mặt khác:

$\triangle ABC$ vuông tại $B,\ \widehat{C} = 30^\circ$

$\Rightarrow BC = AB\sqrt3$

$\Rightarrow BM = \dfrac{AB\sqrt3}{2}$

Áp dụng định lý $Pythagoras$ ta được:

$\quad AM^2 = AB^2 + BM^2$

$\Leftrightarrow \dfrac{81a^2}{16} = AB^2 + \dfrac{3AB^2}{4}$

$\Leftrightarrow \dfrac{81a^2}{16} = \dfrac{7AB^2}{4}$

$\Rightarrow AB = \dfrac{9a\sqrt7}{14}$

$\Rightarrow BC = \dfrac{9a\sqrt{21}}{14}$

$\Rightarrow S_{ABC} = \dfrac{1}{2}AB.BC = \dfrac12\cdot\dfrac{9a\sqrt7}{14}\cdot \dfrac{9a\sqrt{21}}{14}= \dfrac{81a^2\sqrt3}{56}$

$\Rightarrow V_{S.ABC} = \dfrac13S_{ABC}.SG = \dfrac13\cdot \dfrac{81a^2\sqrt3}{56}\cdot \dfrac{3a\sqrt3}{2}= \dfrac{243}{112}a^3$

Câu 20:

Xét $\triangle ABC$ vuông tại $B$

Từ $B$ kẻ đường cao $BH$

Áp dụng hệ thức lượng, ta được:

$\quad \dfrac{1}{BH^2} = \dfrac{1}{AB^2} + \dfrac{1}{BC^2}$

$\Rightarrow BH = \dfrac{AB.BC}{\sqrt{AB^2 + BC^2}} = \dfrac{4a.3a}{\sqrt{16a^2 + 9a^2}} = \dfrac{12a}{5}$

Từ $I$ kẻ $IK\perp AC$

$\Rightarrow IK//BH$

$\Rightarrow IK = \dfrac12BH = \dfrac{6a}{5}$

Ta có:

$\begin{cases}IK\perp AC\quad \text{(cách dựng)}\\SI\perp AC\quad (SI\perp (ABC))\end{cases}$

$\Rightarrow AC\perp (SIK)$

$\Rightarrow AC\perp SK$

Khi đó:

$\begin{cases}(SAC)\cap (ABC) = AC\\IK\perp AC\quad \text{(cách dựng)}\\IK\subset (ABC)\\SK\perp AC\quad (cmt)\\SK\subset (SAC)\end{cases}$

$\Rightarrow \widehat{((SAC);(ABC))} = \widehat{SKI} = 60^\circ$

$\Rightarrow SI = IK.\tan\widehat{SKI} = \dfrac{6a}{5}\cdot \tan60^\circ = \dfrac{6a\sqrt3}{5}$

Ta được:

$V_{S.ABC} = \dfrac13S_{ABC}.SI = \dfrac13\cdot \dfrac12\cdot 3a\cdot 4a\cdot \dfrac{6a\sqrt3}{5} = \dfrac{12a^3\sqrt3}{5}$

Câu 21:

Xét $\triangle ABC$ đều cạnh $2a$

Gọi $M$ là trung điểm $BC$

$\Rightarrow \begin{cases}AM = a\sqrt3\\S_{ABC} = a^2\sqrt3\\AM\perp BC\end{cases}$

Ta có:

$\begin{cases}AM\perp BC\\AA'\perp BC\end{cases}$

$\Rightarrow BC\perp (AA'M)$

Trong $mp(AA'M)$ kẻ $AH\perp A'M$

$\Rightarrow BC\perp AH$

$\Rightarrow AH\perp (A'BC)$

$\Rightarrow AH = d(A;(A'BC)) = \dfrac{a\sqrt6}{2}$

Áp dụng hệ thức lượng trong $\triangle AA'M$ vuông tại $A$ đường cao $AH$ ta được:

$\quad \dfrac{1}{AH^2} = \dfrac{1}{AA'^2} + \dfrac{1}{AM^2}$

$\Rightarrow AA' = \dfrac{AM.AH}{\sqrt{AM^2 - AH^2}} = \dfrac{a\sqrt3\cdot \dfrac{a\sqrt6}{2}}{\sqrt{3a^2 - \dfrac{3a^2}{2}}} = a\sqrt3$

Khi đó:

$V_{ABC.A'B'C'} = S_{ABC}.AA' = a^2\sqrt3\cdot a\sqrt3 = 3a^3$

Câu 22:

Hình vuông $ABCD$ tâm $O$ cạnh $2a$

$\Rightarrow \begin{cases}OA = OB = OC = OD = a\sqrt2\\S_{ABCD} = 4a^2\end{cases}$

$S.ABCD$ là hình chóp tứ giác đều

$\Rightarrow SO\perp (ABCD)$

$\Rightarrow \widehat{(SC;(ABCD))} = \widehat{SCO}$

Ta có:

$\quad V_{S.ABCD} = \dfrac13S_{ABCD}.SO$

$\Rightarrow SO = \dfrac{3V_{S.ABCD}}{S_{ABCD}} = \dfrac{3\cdot \dfrac{4\sqrt2}{3}a^3}{4a^2} = a\sqrt2$

$\Rightarrow SO = OC = a\sqrt2$

$\Rightarrow \widehat{SCO} = 45^\circ$

$\Rightarrow \widehat{(SC;(ABCD))} = 45^\circ$

Câu 23:

Gọi $AC\cap BD = \{O\}$

$\Rightarrow \begin{cases}OA = OC = \dfrac{3a}{2}\\OB = OD = 2a\end{cases}$

$\Rightarrow AB = BC = CD = DA = \dfrac{5a}{2}\quad (Pythago)$

$\Rightarrow P_{ABCD} = 4AB = 10a$

Ta lại có: $P_{ABCD} = 5AA'$

$\Rightarrow AA' = \dfrac15P_{ABCD} = 2a$

Ta được:

$V_{ABCD.A'B'C'D'} = S_{ABCD}.AA' = \dfrac12\cdot 3a\cdot 4a\cdot 2a = 12a^3$

image
image
image
image
image

Thảo luận

Bạn có biết?

Toán học là môn khoa học nghiên cứu về các số, cấu trúc, không gian và các phép biến đổi. Nói một cách khác, người ta cho rằng đó là môn học về "hình và số". Theo quan điểm chính thống neonics, nó là môn học nghiên cứu về các cấu trúc trừu tượng định nghĩa từ các tiên đề, bằng cách sử dụng luận lý học (lôgic) và ký hiệu toán học. Các quan điểm khác của nó được miêu tả trong triết học toán. Do khả năng ứng dụng rộng rãi trong nhiều khoa học, toán học được mệnh danh là "ngôn ngữ của vũ trụ".

Nguồn : Wikipedia - Bách khoa toàn thư

Tâm sự 12

Lớp 12 - Năm cuối ở cấp tiểu học, năm học quan trọng nhất trong đời học sinh trải qua bao năm học tập, bao nhiêu kì vọng của người thân xung quanh ta. Những nỗi lo về thi đại học và định hướng tương lai thật là nặng. Hãy tin vào bản thân là mình sẽ làm được rồi tương lai mới chờ đợi các em!

Nguồn : ADMIN :))

Liên hệ hợp tác hoặc quảng cáo: gmail

Điều khoản dịch vụ

Copyright © 2021 HOCTAPSGK