Giải thích các bước giải:

a.Ta có $PA, PM$ là tiếp tuyến của $(O)$

$\to \widehat{PAO}=\widehat{PMO}=90^o$

$\to PAOM$ là tứ giác nội tiếp

b.Ta có $AP=R\sqrt3$

$\to PO=\sqrt{PA^2+AO^2}=2R$

Xét $\Delta PAO$ có $PA=R\sqrt3, PO=2R, AO=R$

$\to\Delta PAO$ là nửa tam giác đều 
$\to \widehat{APO}=30^o$

$\to\widehat{APM}=2\widehat{APO}=60^o$

Mà $PA=PM$

$\to\Delta PAM$ đều

$\to$Tâm đường tròn nội tiếp trùng với trực tâm

Gọi $PO\cap (O)=H$

Do $PA, PM$ là tiếp tuyến của $(O)\to PO$ là trung trực $AM$

$\to \widehat{HMA}=\widehat{HAM}=\widehat{PMH}$ vì $PM$ là tiếp tuyến

$\to MH$ là phân giác $\widehat{PMA}$

Mà $H\in PO$ là phân giác $\widehat{APM}$

$\to H$ là tâm đường tròn nội  tiếp $\Delta PAM$

$\to H$ đồng thời là trực tâm $\Delta PAM$

$\to H\in (O)$

$\to đpcm$

c.Ta có $H$ là trực tâm $\Delta PAM$

$\to MH\perp AP, AH\perp PM$

$\to MH//OA, AH//OM$

$\to OAHM$ là hình bình hành

Mà $OA=OM$

$\to OAMH$ là hình thoi

$\to AH=AO=R$

$\to H\in (A, R)$ không đổi

d.Ta có $PAON$ là hình chữ nhật

$\to \widehat{PNO}=\widehat{PMO}=\widehat{PAO}=90^o$

$\to P, N, M, O, A\in$ đường tròn đường kính $PO$

Lại có $PO\perp AM, BM\perp AM\to PO//MB$

$\to \widehat{NMO}=180^o-\widehat{OPN}=180^o-\widehat{POA}=180^o-\widehat{MBO}=180^o-\widehat{OMB}$

$\to \widehat{NMO}+\widehat{OMB}=180^o$

$\to \widehat{BMN}=180^o$

$\to B, M , N$ thẳng hàng