Giải thích các bước giải:

1.Ta có $\widehat{AEH}=\widehat{AFH}=90^o\to AEHF$ nội tiếp đường tròn đường kính $AH$

            $\widehat{BEC}=\widehat{BFC}=90^o\to BCEEF$ nội tiếp đường tròn đường kính $BC$

2.Ta có $\widehat{AFC}=\widehat{ADC}=90^\to AFDC$ nội tiếp

Từ câu 1 $\to \widehat{EFH}=\widehat{HAE}=\widehat{DAC}=\widehat{DFC}$

$\to FH$ là phân giác $\widehat{EFD}$

Tương tự $EH$ là phân giác $\widehat{FED}$

$\to E$ là tâm đường tròn nội tiếp $\Delta DEF$

3.a. Xét $\Delta AEH,\Delta BCE$ có:

$\widehat{AEH}=\widehat{CEB}=90^o$

$\widehat{EAH}=90^o-\widehat{AHE}=90^o-\widehat{BHD}=\widehat{HBD}=\widehat{EBC}$

$\to\Delta EAH\sim\Delta EBC(g.g)$

$\to\dfrac{EA}{EB}=\dfrac{EH}{EC}$

$\to EH.EB=EA.EC=12$

$\to EH(EH+HB)=12$

$\to EH(EH+4)=12$

$\to EH^2+4EH=12$

$\to EH^2+4EH+4=16$

$\to (EH+2)^2=16$

$\to EH+2=4$

$\to EH=2$

b.Từ 3a $\to BE=BH+HE=6$

$\to$Thể tích cần tìm là:

$V=\dfrac13\cdot CE\cdot \pi BE^2=48\pi$

4.a.Ta có $AK$ là đường kính của $(O)\to KC\perp AC, KB\perp AB$

$\to KC//BH, KB//CH$

$\to KBHC$ là hình bình hành

b.Xét $\Delta ABD,\Delta AKC$ có:

$\widehat{ADB}=\widehat{ACK}=90^o$

$\widehat{ABD}=\widehat{ABC}=\widehat{AKC}$

$\to\Delta ABD\sim\Delta AKC(g.g)$

5.Gọi $AK\cap EF=A'$

Từ câu 4b và $BCEF$ nội tiếp $\to \widehat{AEA'}=\widehat{ABC}=\widehat{AKC}$

$\to \widehat{EAA'}+\widehat{AEA'}=\widehat{CAK}+\widehat{AKC}=90^o$
$\to\Delta AA'E$ vuông tại $A'$

$\to AK\perp EF$

6.Từ câu 4b

$\to \dfrac{AD}{AC}=\dfrac{AB}{AK}$

$\to AD=\dfrac{AB\cdot AC}{AK}$

$\to AD=\dfrac{c\cdot b}{2R}$

$\to S_{ABC}=\dfrac12AD\cdot BC$

$\to S_{ABC}=\dfrac12\cdot\dfrac{bc}{2R}\cdot a$

$\to S_{ABC}=\dfrac{abc}{4R}$

7a.Xét $\Delta AEF,\Delta ABC$ có:

Chung $\hat A$

$\widehat{AEF}=\widehat{ACB}$ vì $BCEF$ nội tiếp

$\to \Delta AEF\sim\Delta ABC(g.g)$

$\to\dfrac{S_{AEF}}{S_{ABC}}=(\dfrac{AE}{AB})^2=(\cos\hat A)^2=\dfrac14$

$\to\dfrac{S_{AEF}}{S_{ABC}-S_{AEF}}=\dfrac1{4-1}$

$\to\dfrac{S_{AEF}}{S_{BCEF}}=\dfrac13$

$\to S_{AEF}=\dfrac13S_{BCEF}$

7b.Ta có $AEHF$ nội tiếp đường tròn đường kính $AH$

$\to$ Bán kính là $R'=\dfrac12AH=3$

Ta có $\widehat{EIF}=2\widehat{EAF}=120^o$

$\to$Diện tích hình quạt tròn $IEF$ là:

$S=\dfrac{\widehat{EIF}}{360^o}\cdot \pi\cdot R'^2$

$\to S=3\pi$

8.Ta có $H'$ đối xứng qua $BC$

$\to \widehat{BH'C}=\widehat{BHC}=\widehat{EHF}=180^o-\widehat{EAH}=180^o-\widehat{BAC}$

$\to \widehat{BH'C}+\widehat{BAC}=180^o$

$\to ABH'C$ nội tiếp

$\to H'\in (ABC)$

$\to H'\in (O)$

9.Từ câu 8 do $H, H'$ đối xứng qua $BC$

Ký hiệu $R_{HBC},R_{H'BC}$ là bán kính đường tròn ngoại tiếp $\Delta HBC, H'BC$

$\to R_{HBC}=R_{H'BC}$

$\to R_{HBC}=R_{AH'BC}$ vì $ABH'C$ nội tiếp

$\to R_{HBC}=R$ (R là bán kính của (O))

Tương tự chứng minh được $R_{HAB}=R_{HAC}=R$

$\to R_{HAB}=R_{HBC}=R_{HAC}(=R)$

10.a. Ta có $\Delta EBC$ vuông tại $E, M$ là trung điểm $BC$

$\to ME=MB=MC$

$\to \widehat{MEB}=\widehat{MBE}=\widehat{EBC}=\widehat{EFC}=\widehat{EFH}=\widehat{EAH}=\widehat{EAI}=\widehat{IEA}=90^o-\widehat{IEH}$

$\to\widehat{MEB}+\widehat{IEH}=90^o$

$\to\widehat{IEM}=90^o$

$\to EM$ là tiếp tuyến của $(I)$

$\to EM$ là tiếp tuyến của $(AEF)$

b.Ta có $BKCH$ là hình bình hành

$\to HK\cap BC$ tại trung điểm mỗi đường

Do $M$ là trung điểm $BC\to M$ là trung điểm $HK$

Lại có $O$ là trung điểm $AK\to OM$ là đường trung bình $\Delta AHK\to AH=2OM$

c.Ta có $G$ là trọng tâm $\Delta ABC\to \dfrac{AG}{AM}=\dfrac23$

Mà $M$ là trung điểm $HK$

$\to G$ là trọng tâm $\Delta AHK$ 

Do $O$ là trung điểm $AK\to HG=\dfrac23HO$

$\to S_{AHG}=\dfrac23S_{AHO}$

11.Tương tự câu 10 $\to MF$ là tiếp tuyến của $(I)$

$\to \widehat{IEM}=\widehat{IFM}=\widehat{IDM}=90^o$

$\to I,E, M, D, F\in$ đường tròn đường kính $IM$

Ta có $I, M, N$ là trung điểm $AH, BC, CH$

$\to IN, MN$ là đường trung bình $\Delta AHC, \Delta HBC$

$\to IN//AC, MN//BH$

Mà $BH\perp AC\to IN\perp MN$

$\to \widehat{INM}=90^o\to N\in$ đường tròn đường kính $IM$

$\to N, I,E, M, D, F\in$ đường tròn đường kính $IM$

12.Ta có $OA\perp EF$

Tương tự chứng minh được $OB\perp FD, OC\perp ED$

$\to S_{ABC}=S_{OEAF}+S_{OFBD}+S_{ODCE}$

$\to S_{ABC}=\dfrac12AO\cdot EF+\dfrac12BO\cdot DF+\dfrac12CO\cdot DE$

$\to S_{ABC}=\dfrac12R\cdot (EF+DF+DE)$

$\to \dfrac12AD\cdot BC=\dfrac12R\cdot P_{DEF}$

$\to P_{DEF}=\dfrac{AD\cdot BC}{R}$

Ta có $AD\le AM\le AO+OM=R+OM$

$\to P_{DEF}\le \dfrac{R+OM}{R}$

Dấu = xảy ra khi $A$ nằm chính giữa cung $BC$

13.Ta có $r$ là bán kính đường tròn nội tiếp $\Delta ABC$

$\to S_{ABC}=\dfrac12r\cdot (AB+BC+CA)=\dfrac12r(a+b+c)$

Mặt khác  ta có:

$S_{ABC}=\dfrac12AD\cdot BC=\dfrac12AC\cdot BE=\dfrac12AB\cdot CF$

$\to AD\cdot a=BE\cdot b=CF\cdot c=2S_{ABC}=r(a+b+c)$

$\to AD=\dfrac{r(a+b+c)}{a}, BE=\dfrac{r(a+b+c)}{b}, CF=\dfrac{r(a+b+c)}{c}$

$\to AD+BE+CF=\dfrac{r(a+b+c)}{a}+\dfrac{r(a+b+c)}{b}+\dfrac{r(a+b+c)}{c}$

$\to AD+BE+CF=r(a+b+c)(\dfrac1a+\dfrac1b+\dfrac1c)\ge r(a+b+c)\cdot \dfrac9{a+b+c}=9r$

Dấu = xảy ra khi $a=b= c$

$\to\Delta ABC$ đều 

14.Xét $\Delta PBF,\Delta PEC$ có:

Chung $\hat P$

$\widehat{PFB}=\widehat{PEC}$ vì $BCEF$ nội tiếp

$\to\Delta PBF\sim\Delta PEC(g.g)$

$\to\dfrac{PB}{PE}=\dfrac{PF}{PC}$

$\to PE.PF=PB.PC$

15a.Xét $\Delta PBQ,\Delta PAC$ có:

Chung $\hat P$

$\widehat{PBQ}=\widehat{PAC}$ vì $BCAQ$ nội tiếp $(O)$

$\to\Delta PBQ\sim\Delta PAC(g.g)$

$\to\dfrac{PB}{PA}=\dfrac{PQ}{PC}$

$\to PQ.PA=PB.PC$

$\to PQ.PA=PE.PF$

$\to \dfrac{PQ}{PE}=\dfrac{PF}{PA}$

Mà $\widehat{QPF}=\widehat{APE}$

$\to\Delta PQF\sim\Delta PEA(c.g.c)$

$\to \widehat{PFQ}=\widehat{PAE}$

$\to AQFE$ nội tiếp

b.Ta có $AQFE$nội tiếp

$\to Q\in (AEF)\to Q\in (I)\to AQ\perp QH$ vì $AH$ là đường kính của $(I)$

Ta có $AK$ là đường kính của $(O)\to  AQ\perp QK$

$\to Q,H, K$ thẳng hàng

Mà $M, H, K$ thẳng hàng

$\to Q, H, M$ thẳng hàng