Đáp án+Giải thích các bước giải:

 a)Xét `2ΔBHA` và `ΔBAC` ta có:

        `hat{BHA}=hat{BAC}=90^o`

        `hat{B}` chung

`⇒ΔBHA~ΔBAC`

`⇒(AB)/(CB)=(BH)/(AB)`

`⇒AB²=BH.BC`

`b)`Ta có:`AB²=BH.BC`

            `⇒15²=BH.25`

            `⇒BH=15²:25`

            `⇒BH=9(cm)`

          Vậy`BH=9cm`

Vì `BH`//`EF`,áp dụng đ.lí Ta-lét trong `ΔAEF` ta có:

            `(AB)/(AF)=(BH)/(EF)⇒(15)/(20)=9/(EF)`

                                           `⇒EF=(20.9)/(15)`

                                           `⇒EF=12cm`

             Vậy `EF=12cm`

`c)`Ta có:`hat{FEB}+hat{AEB}=90^o`

              `hat{AEK}+hat{AEB}=90^o`

         `⇒hat{FEB}=hat{AEK}`

    Ta có:`BH⊥AE`

             `BH`//`FE`

         `→AE⊥FE`

Theo câu `a)ΔBHA~ΔBAC`

         `⇒hat{A1}=hat{C}``(1)`

`hat{AFE}=hat{AEF}-hat{A1}``(2)`

`hat{EAK}=hat{AHC}-hat{C}``(3)`

Và:`hat{AEF}=hat{AHC}=90^o``(4)`

Từ `(1),(2),(3),(4):`

`⇒hat{AFE}=hat{EAK}`hay`hat{EFB}=hat{EAK}`

Xét `2ΔFEB` và `ΔAEK` ta có:

       `hat{EFB}=hat{EAK}`(cmt)

       `hat{FEB}=hat{AEK}`(cmt)

`⇒ΔFEB~ΔAEK`

`⇒(FE)/(AE)=(EB)/(EK)`

`⇒(FE)/(EB)=(AE)/(EK)`

Xét `2ΔFEA` và `ΔBEK` ta có:

        `(FE)/(EB)=(AE)/(EK)`(cmt)

        `hat{FEA}=hat{BEK}=90^o`

`⇒ΔFEA~ΔBEK`

`⇒(AF)/(KB)=(EF)/(EB)`

`⇒AF.BE=BK.EF`(đpcm)