Đáp án:

`a)` `(1;1);(3;9)`

`b)` `m=3/2` 

Giải thích các bước giải:

`(d)y=mx-m+1`

`a)` Với `m=4`

`=>(d)y=4x-4+1=4x-3`

Phương trình hoành độ giao điểm của `(P):y=x^2` và `(d)y=4x-3` là:

`\qquad x^2=4x-3`

`<=>x^2-4x+3=0`

Ta có: `a=1;b=-4;c=3`

Vì `a+b+c=1+(-4)+3=0`

`=>` Phương trình có hai nghiệm:

`\qquad x_1=1; x_2=c/a=3`

+) Với `x=1=>y=x^2=1^2=1` ta có điểm `(1;1)`

+) Với `x=3=>y=x^2=3^2=9` ta có điểm `(3;9)`

Vậy với `m=4` tọa độ giao điểm của `(P)` và `(d)` là: `(1;1); (3;9)`

$\\$

`b)` Phương trình hoành độ giao điểm của `(P):y=x^2` và `(d)y=mx-m+1` là:

`\qquad x^2=mx-m+1`

`<=>x^2-mx+m-1=0`

Ta có: `a=1;b=-m;c=m-1`

`∆=b^2-4ac=(-m)^2-4.1.(m-1)`

`=m^2-4m+4=(m-2)^2`

$\\$

Để `(d)` cắt `(P)` tại `2` điểm phân biệt có hoành độ `x_1 , x_2`

`=>` phương trình có hai nghiệm phân biệt `x_1;x_2`

`<=>∆>0⇔(m-2)^2>0<=>m\ne 2`

Theo hệ thức Viet ta có:

$\begin{cases}x_1+x_2=\dfrac{-b}{a}=m\\x_1x_2=\dfrac{c}{a}=m-1\end{cases}$

$\\$

Vì `x_1;x_2` là độ dài hai cạnh của tam giác vuông nên `x_1;x_2>0`

`=>x_1+x_2>0` và `x_1x_2>0`

`=>m>0` và `m-1>0`

`=>m>1`

Với $a\ (a>0)$ là độ dài cạnh huyền ta có:

`\qquad a^2=x_1^2+x_2^2` (định lý Pytago)

`<=>a^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2`

`<=>a^2=m^2-2(m-1)=m^2-2m+2`

$\\$

Vì độ dài đường cao ứng với cạnh huyền bằng `1/{\sqrt{5}}` nên `h=1/{\sqrt{5}}`

Ta có:

`S_{∆}=1/ 2 x_1x_2=1/ 2 ah`

`<=>x_1x_2=ah`

`<=>(x_1x_2)^2=(ah)^2=a^2 h^2`

`<=>(m-1)^2=(m^2-2m+2). 1/ 5`

`<=>5(m^2-2m+1)=m^2-2m+2`

`<=>4m^2-8m+3=0`

`∆'=(-4)^2-4.3=4>0`

`=>\sqrt{∆'}=2`

`∆'>0=>` phương trình có hai nghiệm phân biệt:

$\qquad \left[\begin{array}{l}m=\dfrac{4+2}{4}=\dfrac{3}{2}\ (thỏa\ đk)\\m=\dfrac{4-2}{4}=\dfrac{1}{2}\ (loại)\end{array}\right.$

Vậy `m=3/ 2` thỏa đề bài 

Đáp án: Câu a) m=4, tọa độ 2 giao điểm là:  A(1;1) & B(3;9)

             Câu b) tìm được 2 lời giải : m = 3/2

Giải thích các bước giải:

Câu a)  Ta có pt hđộ gđiểm của (P):y=x^2 và (d): y = mx-m+1 là:  x^2-mx+m-1 = 0 (*)

           Với m = 4, pt(*) là : x^2-4x+3=0 có dạng a+b+c=1-4+3=0 suy ra x=1; y=1  -> A(1;1)

                                                                                                                    x=3; y=9   -> B(3;9)

Câu b) Để (P) và (d) cắt nhau tại 2 điểm phân biệt thì pt(*) phải có 2 nghiệm tức là:

        +  Delta = m^2-4m+4>0  <=> (m-2)^2>0 <=> m khác 2

        +  Và để 2 hoành độ 2 giao điểm của (P) và (d) là 2 cạnh của tg vuông thì:

                  S = m > 0 và P = m-1>0   <=>  m>1

                Ta có  1/x1^2 + 1/x2^2 = 5  (căn 5 bình)

                  <=>  x1^2 + x2^2 = 5x1^2.x2^2

                  <=>  (x1+x2)^2 - 2x1.x2 = 5(x1.x2)^2

                  <=>  m^2 - 2m + 2 = 5m^2 - 10m + 5

                  <=>  4m^2 - 8m + 3 = 0  <=> m = 3/2 (thỏa đk)

                                                                     m = 1/2 < 1 (không thỏa đk)