Đáp án:

 a) $y=8x-\dfrac{28}{3}$ ; $y=8x-\dfrac{80}{3}$

b) $y=\dfrac{-1}{3}.x+\dfrac{-9+4\sqrt{6}}{27}$

Giải thích các bước giải:

Gọi tiếp tuyến có dạng $y=ax+b$ (1)

 a) Tiếp tuyến song song với đường thẳng $8x-y=0$

     hay song song với đường thẳng $y=8x$. Suy ra $a=8$

Mà $a= f^{'}(x_0) \Rightarrow 8=\dfrac{1}{3}.3x^2_0-2x_0 \Rightarrow x_0=-2$ hoặc $x_0=4$

+) Với $x_0=-2 \Rightarrow y_0=\dfrac{1}{3}.(-2)^3-(-2)^2=\dfrac{-4}{3}$ .

Điểm tiếp xúc là: $M_1(2; \dfrac{-20}{3})$. 

Thay vào (1) ta được: $\dfrac{-20}{3}=8.(-2)+b \Leftrightarrow b=\dfrac{28}{3}$

Phương trình tiếp tuyến là: $y=8x-\dfrac{28}{3}$

+) Với $x_0=4 \Rightarrow y_0=\dfrac{1}{3}.4^3-4^2=\dfrac{16}{3}$ .

Điểm tiếp xúc là: $M_1(4; \dfrac{16}{3})$

Thay vào (1) ta được: $\dfrac{16}{3}=8.4+b \Leftrightarrow b=\dfrac{-80}{3}$

Phương trình tiếp tuyến là: $y=8x-\dfrac{80}{3}$

b) 

Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng $6x-2y-2021=0$

hay vuông góc với $y=3x-\dfrac{2021}{2}$. Suy ra $a= \dfrac{-1}{3}$

Mà $a= f^{'}(x_0) \Rightarrow \dfrac{-1}{3}=\dfrac{1}{3}.3x^2_0-2x_0 $

$\Rightarrow x_0=\dfrac{3+\sqrt{6}}{3}$ hoặc $x_0=\dfrac{3-\sqrt{6}}{3}$$

+) Với $x_0=\dfrac{3+\sqrt{6}}{3} \Rightarrow y_0=\dfrac{-18+7\sqrt{6}}{27}$

Vậy điểm tiếp xúc là : $M(x_0=\dfrac{3+\sqrt{6}}{3}; y_0=\dfrac{-18-7\sqrt{6}}{27})$

Thay vào ta được $b=\dfrac{-9+4\sqrt{6}}{27}$

Vậy pt tiếp tuyến là: $y=\dfrac{-1}{3}+\dfrac{-9+4\sqrt{6}}{27}$

(Số rất xấu th còn lại bạn làm tương tự nha)