a)

Ta có $\widehat{MAI}=\widehat{MAB}+\widehat{BAC}+\widehat{CAI}$

$\to \widehat{MAI}=45{}^\circ +45{}^\circ +90{}^\circ =180{}^\circ $

$\to M,A,I$ thẳng hàng

b)

Ta có $AN=AB$ và $AC=AK$

Nên $BK=CN$

Ta có $\widehat{ABN}=\widehat{AKC}=45{}^\circ $

Mà hai góc này ở vị trí so le trong

$\to BN//CK$

$\to CKNB$ là hình thang

Có hai đường chéo $BK=CN$

$\to CKNB$ là hình thang cân

c)

Xét $\Delta KNB$ và $\Delta CBN$, ta có:

+   $BN$ là cạnh chung

+   $\widehat{KNB}=\widehat{CBN}$ (tính chất hình thang cân $CKNB$)

+   $KN=CB$ (tính chất hình thang cân $CKNB$)

$\to \Delta KNB=\Delta CBN\left( c.g.c \right)$

$\to \widehat{NKB}=\widehat{BCN}\,\,\,\left( 1 \right)$

Ta có $\Delta ANK$ vuông tại $A$ với trung tuyến $AD$

$\to DA=DK\to \Delta DAK$ cân tại $D$

$\to \widehat{NKB}=\widehat{DAK}\,\,\,\left( 2 \right)$

Ta có $\widehat{BCN}=\widehat{BAH}\,\,\,\left( 3 \right)$ (cùng phụ $\widehat{ABC}$)

Từ $\left( 1 \right),\left( 2 \right),\left( 3 \right)\to \widehat{DAK}=\widehat{BAH}$

Mà $\widehat{BAH}+\widehat{KAH}=180{}^\circ $ (kề bù)

$\to \widehat{DAK}+\widehat{KAH}=180{}^\circ $

$\to \widehat{DAH}=180{}^\circ $

$\to D,A,H$ thẳng hàng

$\to AH$ đi qua trung điểm $D$ của $NK$

Tứ giác $ANEK$ có $\widehat{ANE}=\widehat{AKE}=\widehat{NAK}=90{}^\circ $

Nên $ANEK$ là hình chữ nhật

Có $D$ là trung điểm $NK$

$\to D$ cũng là trung điểm $AE$

$\to A,D,E$ thẳng hàng

$\to H,A,D,E$ thẳng hàng

Vậy $AH,IK,MN$ đồng quy tại $E$

d)

Gọi $F$ là giao điểm $BI$ và $CM$

Kẻ $MG\bot BE$

Ta có $\Delta BGM\sim\Delta BME\to B{{M}^{2}}=BG.BE$

Ta có $\Delta BHA\sim\Delta BAC\to B{{A}^{2}}=BH.BC$

Mà $BA=BM$

$\to BG.BE=BH.BC$

$\to \Delta BGC\sim\Delta BHE\left( c.g.c \right)$

$\to \widehat{BGC}=\widehat{BHE}=90{}^\circ $

$\to CG\bot BG$

$\to M,G,C$ thẳng hàng

$\to M,G,F,C$ thẳng hàng

Tương tự: Kẻ $IS\bot CE$

$\to I,S,F,B$ thẳng hàng

Xét $\Delta EBC$ có hai đường cao $BS,CG$ cắt nhau tại $F$

$\to F$ là trực tâm của $\Delta EBC$

$\to EF\bot BC$

Mà $EH\bot BC$

$\to E,F,H$ thẳng hàng

$\to E,D,A,F,H$ thẳng hàng

Vậy $AH,CM,BI$ đồng quy tại $F$

Ta có $N{{K}^{2}}=A{{N}^{2}}+A{{K}^{2}}$ (Pytago)

$\Rightarrow A{{N}^{2}}=N{{K}^{2}}-A{{K}^{2}}$