`2)` Vẽ đường kính `AI` của `(O)`

`=>\hat{ABI}=\hat{ACI}=90°` (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

`=>IB`$\perp AB; IC\perp AC$ `(1)`

 Vì $H$ là trực tâm `\Delta ABC`

`=>`$CH\perp AB; BH\perp AC$ `(2)`

Từ `(1);(2)=>IB`//`CH; IC`//$BH$

`=>BHCI` là hình bình hành 

Mà `M` là trung điểm `BC` 

`=>M` là trung điểm $HI$

$\\$

Vì `AI` là đường kính `(O)`

`=>O` là trung điểm $AI$

Ta có:

`\vec{HA}+(\vec{HB}+\vec{HC})`

`=\vec{HA}+\vec{HI}` (quy tắc hình bình hành)

`=2\vec{HO}` (quy tắc trung điểm)

Vậy `\vec{HA}+\vec{HB}+\vec{HC}=2\vec{HO}` (đpcm)

$\\$

`3)` Vì `M` là trung điểm $BC$

`=>\vec{OB}+\vec{OC}=2\vec{OM}` (quy tắc trung điểm)

Ta có: `\vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC}`

`=\vec{OA}+2\vec{OM}`

`=\vec{OA}+\vec{AH}` (vì `\vec{AH}=2\vec{OM}` câu `1)`

`=\vec{OH}`

`=>vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC}=\vec{OH}` (đpcm)

Mà `\vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC}=3\vec{OG}` (do `G` là trọng tâm `\Delta ABC)`

`=>\vec{OH}=3\vec{OG}`

`=>\vec{OH};\vec{OG}` cùng phương

`=>O;G;H` thẳng hàng (đpcm)

_______

Tính chất áp dụng:

+) Hai vec tơ `\vec{AB};\vec{AC}` cùng phương khi có `k\ne 0` sao cho:

`\vec{AB}=k\vec{AC}`

+) Quy tắc trung điểm: `\vec{OB}+\vec{OC}=2\vec{OM}` với `M` là trung điểm `BC`

+) `\vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC}=3\vec{OG}`  với `G` là trọng tâm `\Delta ABC`