Đáp án:

Giải thích các bước giải:

Ta có: $ABCD$ là hình thoi cạnh $a$

$\widehat{DAB}= 60^\circ$

$\Rightarrow \triangle ABD$ đều cạnh $a$

$\Rightarrow S_{ABD}= \dfrac{a^2\sqrt3}{4}$

$\Rightarrow S_{ABCD}= 2S_{ABD}= \dfrac{a^2\sqrt3}{2}$

Bên cạnh đó:

$\begin{cases}(SAB)\perp (ABCD)\quad (gt)\\(SAC)\perp (ABCD)\quad (gt)\\(SAB)\cap (SAC)= SA\end{cases}$

$\Rightarrow SA\perp (ABCD)$

$\Rightarrow SA\perp CD$

Trong $mp(ABCD)$ kẻ $AM\perp CD$

Khi đó:

$\begin{cases}AM\perp CD\quad \text{(cách dựng)}\\SA\perp CD\quad (cmt)\end{cases}$

$\Rightarrow CD\perp (SAM)$

Trong $mp(SAM)$ kẻ $AH\perp SM$

$\Rightarrow CD\perp AH$

$\Rightarrow AH\perp (SMC)$

hay $AH\perp (SCD)$

$\Rightarrow H$ là hình chiếu của $A$ lên $(SCD)$

$\Rightarrow HC$ là hình chiếu của $AC$ lên $(SCD)$

$\Rightarrow \widehat{(AC;(SCD))}=\widehat{ACH}= \alpha$

Do $AH\perp (SCD)\quad (cmt)$

nên $AH\perp HC$

$\Rightarrow HC= AC.\cos\widehat{ACH} = AC.\cos\alpha$

Ta có: $\triangle ABD$ đều cạnh $a$

Gọi $O$ là tâm của hình thoi

$\Rightarrow AC = 2AO = a\sqrt3$

Do đó: $HC = a\sqrt3\cdot \dfrac{\sqrt{30}}{6} = \dfrac{a\sqrt{10}}{2}$

Áp dụng định lý $Pythagoras$ vào $\triangle HAC$ vuông tại $H$ ta được:

$\quad AC^2 = HC^2 + AH^2$

$\Rightarrow AH = \sqrt{AC^2 - HC^2}=\sqrt{3a^2 - \dfrac{5a^2}{2}} = \dfrac{a\sqrt2}{2}$

Mặt khác:

$\widehat{ADM}=\widehat{DAB}= 60^\circ$ (so le trong)

$\Rightarrow AM = AD.\sin\widehat{ADM}= a\cdot \sin60^\circ = \dfrac{a\sqrt3}{2}$

Áp dụng hệ thức lượng vào $\triangle SAM$ vuông tại $A$ đường cao $AH$ ta được:

$\quad\dfrac{1}{AH^2}=\dfrac{1}{SA^2} +\dfrac{1}{AM^2}$

$\Rightarrow SA = \dfrac{AH.AM}{\sqrt{AM^2 - AH^2}}=\dfrac{\dfrac{a\sqrt2}{2}\cdot \dfrac{a\sqrt3}{2}}{\sqrt{\dfrac{3a^2}{4} - \dfrac{2a^2}{4}}}= \dfrac{a\sqrt6}{2}$

Khi đó:

$V_{S.ABCD}=\dfrac13S_{ABCD}.SA =\dfrac13\cdot \dfrac{a^2\sqrt3}{2}\cdot \dfrac{a\sqrt6}{2} = \dfrac{a^3\sqrt2}{4}$