$\text{a) Nối O với C}$

$\text{Có: CO, AO, OB là bán kính; AB là đường kính nên:}$

$\text{⇒ CO = AO = OB = $\dfrac{AB}{2}$ = $\dfrac{20}{2}$ = 10 (cm)}$

$\text{Có: I là trung điểm của OA (gt) nên:}$

$\text{⇒ AI = IO = $\dfrac{OA}{2}$ = $\dfrac{10}{2}$ = 5 (cm)}$

$\text{Có: CD⊥OA tại I (gt) hay OI⊥CD tại I nên ⇒ $\widehat{OIC}$ = $\widehat{OID}$ = $90^o$ }$

$\text{Xét (O), có:}$

          $\text{AO là 1 phần của đường kính}$

          $\text{CD là dây cung không đi qua tâm}$

          $\text{AO⊥CD tại I}$

$\text{⇒ I là trung điểm của CD (Mối quan hệ giữa đường kính và dây)}$

$\text{⇒ CI = ID = $\dfrac{CD}{2}$}$

$\text{⇔ CD = 2CI = 2ID}$

$\text{Xét ΔOIC vuông tại I ($\widehat{OIC}$ = $90^o$) có:}$

          $\text{CO² = CI² + IO² (Định lý Py-ta-go)}$

          $\text{10² = CI² + 5² (Thay số)}$

          $\text{CI² = 75}$

$\text{⇒ CI = 5$\sqrt{3}$ (cm)}$

$\text{⇒ CD = 2CI = 2 . 5$\sqrt{3}$ = 10$\sqrt{3}$ (cm)}$

$\text{b) Nối C với A}$

$\text{Xét ΔCIO, có:}$

          $\text{tan $\widehat{COI}$ = $\dfrac{CI}{IO}$ (Tỉ số lượng giác)}$

          $\text{tan $\widehat{COI}$ = $\dfrac{5\sqrt{3}}{5}$ (Thay số)}$

$\text{⇒ $\widehat{COI}$ = $60^o$}$

$\text{Xét ΔCOA, có: OC = OA = R}$

$\text{⇒ ΔCOA cân tại O (dhnb)}$

$\text{Xét ΔCOA cân tại O (cmt), có: $\widehat{COA}$ = $60^o$ ($\widehat{COI}$ = $60^o$)}$

$\text{⇒ ΔCOA là Δ đều (dhnb)}$

$\text{⇒ CA = OA = CO (T/c Δ đều)}$

$\text{Mà AM = AO (gt)}$

$\text{⇒ CA = AO = AM}$

$\text{⇒ CA = $\dfrac{1}{2}$OM}$

$\text{Xét ΔCOM, có: CA = $\dfrac{1}{2}$OM (cmt)}$

$\text{⇒ ΔCMO vuông tại C}$

$\text{⇒ $\widehat{OCM}$ = $90^o$}$

$\text{⇒ OC⊥CM tại C}$

$\text{Xét (O), có:}$

          $\text{OC⊥CM tại C (cmt)}$

          $\text{C ∈ (O)}$

$\text{⇒ CM là tiếp tuyến của (O) (dhnb)}$

$\textit{Ha1zzz}$