Bài giải

Bài 1 :                           Bài giải

Gọi k là ước chung nguyên tố của 18n + 3 và 21n + 7 

⇒ ( 18n + 3 ) chia hết cho k ⇒ 7 ( 18n + 3 ) chia hết cho k

⇒ ( 21n + 7 ) chia hết cho k ⇒ 6 ( 21n + 7 ) chia hết cho k

⇒ 6 ( 21n + 7 ) - 7 ( 18n + 3 ) chia hết cho k

⇒ 21 chia hết 

⇒ k = 3 hoặc 7

+ Nếu k = 3 ⇒ 21n + 7 chia hết cho 3, điều này không xảy ra vì 21n luôn chia hết cho 3;7 chia cho 3 dư 1; ⇒ 21n + 7 chia cho 3 dư 1 ⇒ k = 3 không xảy ra

+ Nếu k = 7 : Vì 21n + 7 luôn chia hết cho 7 với mọi n ; ta cần tìm n để 18n + 3 chia hết cho 7 

⇒ 21n - 3n + 3 chia hết cho 7 ⇒ 3 - 3n chia hết cho 7 ⇒ 3 - 3n = 7t ( t thuộc N )

⇒ 1 - n = $\frac{7t}{3}$  ⇒ n = 1 - $\frac{7t}{3}$ vì n ; t thuộc N ⇒ t = 0 ; n = 1

Vậy có duy nhất giá trị n = 1 thỏa mãn yêu cầu.

Bài 2:

a, Ta có: x+y=316 293

          y-x=51 015

⇒y=(316 293+51 015):2=183 654

⇒x=316 293-183 654

⇒x=132 639

Phân số đó là: $\frac{132639}{183654}=$ $\frac{13}{18}$ 

b, Gọi số đó là: a

Ta có: $\frac{132639+52}{183654+a}=$ $\frac{13}{18}$ ⇒18x(132639+52)=13x(183654+a)⇒a=72

Bài 3:

a, Gọi: d là ƯCLN(12n+1;30n+2) (d∈N*)

⇒$\left \{ {{12n+1\vdots d} \atop {30n+2\vdots d}} \right.$ =>$\left \{ {{5.(12n+1)\vdots d} \atop {2.(30n+2)\vdots d}} \right.$ =>$\left \{ {{60n+5\vdots d} \atop {60n+4\vdots d}} \right.$ 

⇒60n+5-(60n+4)$\vdots$d

⇒1$\vdots$d

⇒d=1

⇒ƯCLN(12n+1; 30n+2)=1

⇒Phân số đó tối giản

b, Gọi d là ƯCLN(21n+4;14n+3) (d∈N*)

⇒$\left \{ {{21n+4\vdots d} \atop {14n+3\vdots d}} \right.$ =>$\left \{ {{2.(21n+4)\vdots d} \atop {3.(14n+3)\vdots d}} \right.$ =>$\left \{ {{42n+8\vdots d} \atop {42n+9\vdots d}} \right.$ 

⇒42n+9-(42n+8)$\vdots$d

⇒1$\vdots$d

⇒d=1

⇒ƯCLN(21n+4;14n+3)=1

⇒Phân số đó tối giản

Bài 4:

a, Để phân số là số tự nhiên

⇒n+9$\vdots$n-6

⇒(n-6)+15$\vdots$n-6

⇒n-6∈Ư(15)={±1;±3;±5;±15

n-6=1⇒n=7 (tm)

n-6=-1⇒n=5 (loại)

n-6=3⇒n=9 (tm)

n-6=-3⇒n=3 (loại)

n-6=5⇒n=11 (tm)

n-6=-5⇒n=1 (loại)

n-6=15⇒n=21 (tm)

n-6=-15⇒n=-9 (loại)

Vậy n∈{7;9;11;21}

b, Ta có: $\frac{n+9}{n-6}=$ $\frac{n-6+15}{n-6}=1+$ $\frac{15}{n-6}$ 

mà 15$\vdots$1;3;5;15

Để phân số đó tổi giản ⇒n-6 khác k; 3k; 5k; 15k

⇒n khác k+6; 3k+6; 5k+6; 15k+3

⇒n khác k+6; 3k+6; 5k+6; 15k+3 thì phân số đót tối giản