Đáp án+Giải thích các bước giải:

`a)`

Xét `\Delta ABC` có:

`BN = NA` (`BM` là trung tuyến)

`AM = MC` (`CN` là trung tuyến)

`=> MN` là trường trung bình của `\Delta ABC`

`=> MN //// BC` và `MN = 1/2 BC` `(1)`

Vì `MN //// BC` (cmt)

`=>` Tứ giác `BNMC` là hình thang

mà `\hat{B} = \hat{C}` (`\Delta ABC` cân tại `A`)

`=> BNMC` là hình thang cân.

$\\$

`b)`

Xét `\Delta BGC` có:

`BP = PQ` (`P` là trung điểm của `BG`)

`GQ = QC` (`Q` là trung điểm của `GC`)

`=> PQ` là đường trung bình của `\delta BGC`

`=> PQ //// BC` và `PQ = 1/2 BC` `(2)`

Từ `(1)` và `(2)`

`=> MN //// PQ`  và `MN = PQ` 

`c)`

Ta có:

`BN = 1/2 AB` (gt)

`CM = 1/2 AC` (gt)

mà `AB = AC` (`\Delta ABC` cân tại `A`)

`=> BN = CM`

Xét `\Delta BCN` và `\Delta CMB` có:

`BC` chung

`\hat{B} = \hat{C}` (`\Delta ABC` cân tại `A`)

`BN = CM` (cmt)

`=> \Delta BCN = \Delta CMB (c - g - c)`

$\\$

`d)`

Tứ giác `MNPQ` có:

`MN = PQ` (cmt)

`MN //// PQ` (cmt)

`=> MNPQ` là hình bình hành

Vì `\Delta BCN = \Delta CMB`  (cmt)

`=> CN = BM` (Hai cạnh tương ứng)

`=> \hat{NCB} = \hat{MBC}` (Hai góc tương ứng)

Tứ giác `BPQC` có `PQ //// BC` (cmt)

`=> BPQC` là hình thang

mà `\hat{QCB} = \hat{PBC}` (`\hat{NCB} = \hat{MBC}`)

`=> BPQC` là hình thang cân

`=> BP = CQ`

Ta có:

`BP + PM = BM`

`CQ + QN = CN`

mà `BP = CQ` (cmt), `BM = CN` (cmt)

`=> PM = QN`

mà `MNPQ` là hình bình hành

`=> MNPQ` là hình chữ nhật

(Hình bình hành có hai đường chéo `PM = QN`)