Lời giải:

a) Ta có:

$\widehat{IBH}= \widehat{KBC}=\widehat{DAC}$ (cùng phụ $\widehat{ACB}$)

$\widehat{DBH}= \widehat{DBC}= \widehat{DAC}$ (cùng chắn $\mathop{CD}\limits^{\displaystyle\frown}$)

$\Rightarrow \widehat{IBH}=\widehat{DBH}$

$\Rightarrow BH$ là phân giác của $\widehat{IBD}$

Ta lại có: $BH$ là đường cao ứng với cạnh $ID\quad (BH\perp ID)$

$\Rightarrow \triangle IBD$ cân tại $B$

$\Rightarrow BH$ là trung tuyến ứng với cạnh $ID$

hay $H$ là trung điểm $ID$

b) Ta có:

$\widehat{AIE}=\widehat{BID}$ (đối đỉnh)

$\widehat{AEI}=\widehat{AEB}=\widehat{ADB}=\widehat{BDI}$ (cùng chắn $\mathop{AB}\limits^{\displaystyle\frown}$)

mà $\widehat{BID}=\widehat{BDI}$ ($\triangle BID$ cân tại $B$)

nên $\widehat{AIE}=\widehat{AEI}$

$\Rightarrow \triangle AEI$ cân tại $A$

Ta lại có:

$AK$ là đường cao ứng với cạnh $IE\quad (AK\perp IE)$

$\Rightarrow AK$ là trung tuyến ứng với cạnh $IE$

hay $K$ là trung điểm $IE$

c) Kẻ tiếp tuyến $xy$ của $(O)$ tại $C$ (Tia $Cx$ nằm cùng phía $O$ so với bờ $BC$)

$\Rightarrow OC\perp Cx$

Ta có:

$\widehat{ACx}=\widehat{ABC}$ (góc tạo bởi tiếp tuyến - dây cung và góc nội tiếp chắn cung tương ứng)

$\widehat{ABC}=\widehat{ABH}=\widehat{HKC}$ ($ABHK$ nội tiếp)

$\Rightarrow \widehat{ACx}=\widehat{HKC}$

$\Rightarrow HK//Cx$

mà $OC\perp Cx$ (cách dựng)

nên $OC\perp HK$