1, Xét (O) có: 

Ax, CD là hai tiếp tuyến cắt nhau tại D

A, E là hai tiếp điểm

⇒ AD = DE, DO là phân giác $\widehat{ADE}$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Xét ΔADE có: AD = DE (cmt)

⇒ ΔADE cân tại D

Mà DO là phân giác $\widehat{ADE}$ (cmt)

⇒ DO là trung trực của AE

⇒ DO ⊥ AE

Xét (O), đường kính AB có: E ∈ (O) ⇒ $\widehat{AEB}=90°$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

⇒ AE ⊥ EB

Mà AE ⊥ OD (cmt)

⇒ OD // BE (từ vuông góc đến song song)

2, Xét (O) có: $\widehat{DEK}=\widehat{KBE}$ (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp chắn $\overparen{KE}$)

Hay $\widehat{DEK}=\widehat{DBE}$

Xét ΔDEK và ΔDBE có:

$\widehat{DEK}=\widehat{DBE}$ (cmt)

$\widehat{BDE}$: góc chung

⇒ ΔDEK ~ ΔDBE (g.g)

⇒ $\frac{DE}{DB}=\frac{DK}{DE}$ (các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

⇒ DE² = DK.DB

Xét (O) có: CD là tiếp tuyến, E là tiếp điểm

⇒ OE ⊥ CD ⇒ $\widehat{OED}=90°$

Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong ΔDEO vuông tại E ($\widehat{OED}=90°$), EH ⊥ OD (DO ⊥ AE) có:

DE² = DH.DO

Mà DE² = DK.DB (cmt)

⇒ DH.DO = DK.DB

⇒ $\frac{DH}{DB}=\frac{DK}{DO}$

Xét ΔDHK và ΔDBO có: 

$\frac{DH}{DB}=\frac{DK}{DO}$ (cmt)

$\widehat{ODB}$: góc chung

⇒ ΔDHK ~ ΔDBO (c.g.c)

⇒ $\widehat{DHK}=\widehat{DBO}$ (hai góc tương ứng) Hay $\widehat{DHK}=\widehat{KBO}$

Có: $\widehat{DHK}+\widehat{KHO}=180°$ (hai góc kề bù)

⇒ $\widehat{KBO}+\widehat{KHO}=180°$

Xét tứ giác KHOB có: $\widehat{KBO}+\widehat{KHO}=180°$ (cmt)

Mà hai góc này ở vị trí đối nhau

⇒ Tứ giác KHOB nội tiếp đường tròn

c, Xét (O) có: Ax là tiếp tuyến, A là tiếp điểm ⇒ OA ⊥ Ax ⇒ $\widehat{DAO}=90°$

ON ⊥ AB (gt) ⇒ $\widehat{NOB}=90°$

OD // NB (cmt) ⇒ $\widehat{DOA}=\widehat{NBO}$ (2 góc đồng vị)

Xét ΔDAO vuông tại A ($\widehat{DAO}=90°$) và ΔNOB vuông tại O ($\widehat{NOB}=90°$) có:

OA = OB = R

$\widehat{DOA}=\widehat{NBO}$  (cmt)

⇒ ΔDAO = ΔNOB (cạnh góc vuông - góc nhọn)

⇒ DA = NO (các cạnh tương ứng)

DA ⊥ AO (cmt)

NO ⊥ AB (gt)

⇒ DA // NO

Xét tứ giác DAON có: 

DA // NO (cmt)

DA = NO (cmt)

⇒ DAON là hình bình hành

Mà $\widehat{DAO}=90°$ (cmt)

⇒ DAON là hình chữ nhật

⇒ I là trung điểm của DO, $\widehat{DNO}=90°$

⇒ ON ⊥ JD

OE ⊥ DC (cmt) ⇒ DE ⊥ OJ

Xét ΔODJ có:

ON ⊥ JD (cmt)

DE ⊥ OJ (cmt)

ON cắt DE tại M

⇒ M là trực tâm của ΔODJ 

⇒ JM ⊥ OD

DA // ON (cmt) ⇒ $\widehat{ADO}=\widehat{DON}$ (hai góc so le trong)

DAON là hình chữ nhật (cmt)

⇒ DO là phân giác $\widehat{ADE}$

⇒ $\widehat{ADO}=\widehat{ODE}$

Mà $\widehat{ADO}=\widehat{DON}$ (cmt)

⇒ $\widehat{ODE}=\widehat{DON}$ Hay $\widehat{ODM}=\widehat{DOM}$

Xét ΔDOM có: $\widehat{ODM}=\widehat{DOM}$ (cmt)

⇒ ΔDOM cân tại M

Mà I là trung điểm của DO (cmt)

⇒ MI ⊥ DO

Mà JM ⊥ DO (cmt)

⇒ Ba điểm M, I, J thẳng hàng