$\\$

Nếu $b,c,d<0$ thì VP $\not\in$`ZZ` nên ptvn.

Do đó $b,c,d\ge 0$ hay `b,c,d\in NN`

Nếu $b\ge 2 \Rightarrow 5|5^b$

$\Rightarrow 5|a^2+35\Rightarrow 5|a^2\Rightarrow 25|a^2$

Mặt khác: $b\ge 2\Rightarrow 25|5^b$

$\Rightarrow 25|a^2+35\Rightarrow 25|35$(Vô lí).

$\Rightarrow b< 2\Rightarrow b=0$ hoặc $b=1$

Nếu $d\ge 2\Rightarrow 7|7^d$

$\Rightarrow 7|a^2+35\Rightarrow 7|a^2\Rightarrow 49|a^2$

Mặt khác: $d\ge 2\Rightarrow 49|7^d$

$\Rightarrow 49|a^2+35\Rightarrow 49|35$(Vô lí)

$\Rightarrow d<2\Rightarrow d=0$ hoặc $d=1$

$\bullet$ $(b;d)=(0;1)$

$\Rightarrow a^2+35=7.6^c$

$a^2\equiv 1,4\pmod{5}\Rightarrow a^2+35\equiv 1,4\pmod{5}$

Mà $7.6^c\equiv 7.1\equiv 2\pmod{5}$

$\Rightarrow$ptvn.

$\bullet$ $(b;d)=(1;0)$

$\Rightarrow a^2+35=5.6^c$

Dễ thấy $c=0$ không thỏa mãn.

Dễ thấy $c=1$ không thỏa mãn.

Do đó $c\ge 2$

$\Rightarrow 2|6^c\Rightarrow 2|a^2+35$

$\Rightarrow a^2+35$ chẵn mà $35$ lẻ nên $a^2$ lẻ.

$\Rightarrow a^2\equiv 1\pmod{8}\Rightarrow a^2+35\equiv 36\equiv 4\pmod{8}$

$\Rightarrow 5.6^c\equiv 4\pmod{8}$

$\Rightarrow 6^c\not\vdots 8$ 

$\Rightarrow 2^c . 3^c\not\vdots 8$

Dễ thấy nếu $c\ge 3\Rightarrow 8|2^c$

Do đó $c<3$ hay $c\le 2$ mà $c\ge 2$ nên $c=2$

$\Rightarrow a^2+35=180\Rightarrow a^2=145$(Loại)

$\bullet$ $(b;d)=(0;0)$

$\Rightarrow a^2+35=6^c$

Nếu $c$ lẻ $\Rightarrow c=2k+1(k\in$`NN)`

$\Rightarrow 6^c=6^{2k+1}\equiv 6\pmod{8}$

$a^2\equiv 0,1,2,4\pmod{7}\Rightarrow a^2+35\equiv 0,1,2,4\pmod{7}$

Nên ptvn.

Do đó $c$ chẵn $\Rightarrow c=2t(t\in$`NN)`

Đến đây bạn tự giải nhé. (Đưa về pt ước số.)

$\bullet$ $(b;d)=(1;1)$

$\Rightarrow a^2+35=35.6^c$

Dễ thấy $5|35.6^c\Rightarrow 5|a^2+35\Rightarrow 5|a^2\Rightarrow 5|a$

Tương tự: $7|a\Rightarrow 35|a$

$\Rightarrow a=35i(i\in$ `ZZ)`

$\Rightarrow 35^2 . i^2 +35=35.6^c$

$\Rightarrow 35 i^2+1=6^c$

Nếu $c$ lẻ. $\Rightarrow c=2v+1(v\in$ `NN)`

$\Rightarrow 6^c=6^{2v+1}\equiv 6\pmod{7}$

$35i^2+1\equiv 1\pmod{7}$ 

$\Rightarrow$ptvn.

Do đó $c$ chẵn $\Rightarrow c=2u(u\in$`NN)`

Pt trở thành: $35i^2+1=6^{2u}$

Nếu $i=0,i=1,i=-1$(Tự giải)

Nếu $i>2\Rightarrow 6^{2u}>6^2\Rightarrow u>1$

Nếu $i<-2 \Rightarrow u>1$

Ta có: $35i^2+1=36^u$

$\Rightarrow i^2\equiv 1+35\equiv 5\pmod{8}$

Mà $i^2\equiv 0,1,4\pmod{8}$

Nên ptvn.