Đáp án:

a) Để chúng cắt nhau tại 2 điểm phân biệt thì pt hoành độ giao điểm có 2 nghiệm phân biệt

$\begin{array}{l}
{x^2} = 3x - 2m + 1\\
 \Leftrightarrow {x^2} - 3x + 2m - 1 = 0\\
\Delta  > 0\\
 \Leftrightarrow 9 - 4\left( {2m - 1} \right) > 0\\
 \Leftrightarrow 9 - 8m + 4 > 0\\
 \Leftrightarrow 8m < 13\\
 \Leftrightarrow m < \dfrac{{13}}{8}\\
Vậy\,m < \dfrac{{13}}{8}\\
b)m < \dfrac{{13}}{8}\\
Theo\,Viet:\left\{ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} = 3\\
{x_1}{x_2} = 2m - 1
\end{array} \right.\\
Khi:\left| {{x_1}} \right| = 2\left| {{x_2}} \right|\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{x_1} = 2{x_2}\\
{x_1} =  - 2{x_2}
\end{array} \right.\\
 + Khi:{x_1} = 2{x_2}\\
 \Leftrightarrow 3{x_2} = 3\\
 \Leftrightarrow {x_2} = 1\\
 \Leftrightarrow {x_1} = 2\\
 \Leftrightarrow 1.2 = 2m - 1\\
 \Leftrightarrow m = \dfrac{3}{2}\left( {tmdk} \right)\\
 + {x_1} =  - 2{x_2}\\
 \Leftrightarrow  - 2{x_2} + {x_2} = 3\\
 \Leftrightarrow {x_2} =  - 3\\
 \Leftrightarrow {x_1} = 6\\
 \Leftrightarrow 6.\left( { - 3} \right) = 2m - 1\\
 \Leftrightarrow m = \dfrac{{ - 17}}{2}\left( {tmdk} \right)\\
Vậy\,m = \dfrac{3}{2};m = \dfrac{{ - 17}}{2}
\end{array}$