Đáp án:

`a,`

`text{Xét ΔABC vuông tại A có :}`

`AB^2 + AC^2 = BC^2` `text{(Pitago)}`

`-> AB^2 = BC^2 - AC^2`

`-> AB^2 = 10^2 - 6^2`

`-> AB^2 = 8^2`

`-> AB=8cm`

$\\$

$\\$

$b,$

`text{Xét ΔMAC và ΔMBD có :}`

`text{AM = BM (Vì AM là đường trung tuyến)}`

`text{MC = MD (giả thiết)}`

`hat{AMC} = hat{BMD}` `text{(2 góc đối đỉnh)}`

`->` `text{ΔMAC = ΔMBD (cạnh - góc - cạnh)}`

$\\$

$\\$

$c,$

`text{Vì ΔMAC = ΔMBD (chứng minh trên)}`

`->` `text{AC = BD (2 cạnh tương ứng)}`

`text{Ta có : MC = MD (giả thiết)}`

`->` `text{M là trung điểm của CD}`

`-> 2CM =CD`

$\\$

`text{Áp dụng BĐT Δ cho ΔCBD có :}`

`BC+ BD > CD`

`text{mà BD = AC, CD = 2CM}`

`-> AC + BC > 2CM`

$\\$

$\\$

$d,$

`text{Xét ΔACD có :}`

`text{AM là đường trung tuyến}`

`AK = 2/3 AM`

`->` `text{K là trọng tâm của ΔACD}`

`->` `text{CN là đường trung tuyến}`

`->` `text{N là trung điểm của AD}`

$\\$

`text{Xét ΔBAD có :}`

`text{DM là đường trung tuyến}`

`text{BN là đường trung tuyến}`

`text{BN cắt DM tại I}`

`->` `text{I là trọng tâm của ΔBAD}`

$\\$

`-> DI = 2/3 DM`

`text{mà}` `DM = 1/2 DC` `text{(Vì M là trung điểm của DC)}`

`-> DI = 2/3 . 1/2DC`

`-> DI = 1/3 DC`

`-> DC = 3DI`