1, Xét (O), đường kính AB có: K ∈ (O)

⇒ $\widehat{AKB}=90°$ (góc nội tiếp chắn nửa đường) Hay $\widehat{AKE}=90°$ ⇒ BK ⊥ AC

AB ⊥ MN (gt) ⇒ $\widehat{AHN}=90°$ Hay $\widehat{AHE}=90°$

Xét tứ giác AKEH có: $\widehat{AKE}+\widehat{AHE}=90°+90°=180°$

Mà hai góc này ở vị trí đối nhau

⇒ Tứ giác AKEH nội tiếp đường tròn đường kính AE

2, Xét (O) có:

AB là đường kính

MN là dây không đi qua tâm

MN ⊥ AB (gt)

⇒ B là điểm chính giữa $\overparen{MN}$

⇒ $\overparen{BM}=\overparen{BN}$

Xét (O) có:

$\widehat{BKM}=\frac{1}{2}sđ\overparen{BM}$ (góc nội tiếp chắn $\overparen{BM}$)

$\widehat{BKN}=\frac{1}{2}sđ\overparen{BN}$ (góc nội tiếp chắn $\overparen{BN}$)

$\overparen{BM}=\overparen{BN}$ (cmt)

⇒ $\widehat{BKM}=\widehat{BKN}$

⇒ KB là phân giác $\widehat{MKN}$

Hay KE là phân giác $\widehat{MKN}$

BK ⊥ AC (cmt)

NF ⊥ AC (gt)

⇒ BK // NF (từ  vuông góc đến song song)

⇒ $\widehat{BKN}=\widehat{KNF}$ (2 góc so le trong)

$\widehat{MKB}=\widehat{KFN}$ (2 góc đồng vị)

Mà $\widehat{BKM}=\widehat{BKN}$ (cmt)

⇒ $\widehat{KNF}=\widehat{KFN}$

Xét ΔKNF có: $\widehat{KNF}=\widehat{KFN}$ (cmt)

⇒ ΔKNF cân tại K

Xét ΔMKN có: KE là phân giác $\widehat{MKN}$ (cmt)

⇒ $\frac{KM}{KN}=\frac{EM}{EN}$ (tính chất tia phân giác trong tam giác)

Có KE ⊥ KC (BK ⊥ AC)

⇒ KC là phân giác ngoài của ΔMKN 

⇒ $\frac{KM}{KN}=\frac{CM}{CN}$ (tính chất tia phân giác trong tam giác)

Mà $\frac{KM}{KN}=\frac{EM}{EN}$ (cmt)

⇒ $\frac{CM}{CN}=\frac{EM}{EN}$ ⇒ CM.EN = CN.EM

3, BK ⊥ AC (cmt) ⇒ $\widehat{BKC}=90°$ Hay $\widehat{EKC}=90°$

Xét ΔEKC vuông tại K ($\widehat{EKC}=90°$) có: KE = KC (gt)

⇒ ΔEKC vuông cân tại K

⇒ $\widehat{KCE}=45°$ Hay $\widehat{ACH}=45°$

AB ⊥ MN (gt) ⇒ $\widehat{AHN}=90°$ Hay $\widehat{AHC}=90°$

Xét ΔACH vuông tại H ($\widehat{AHC}=90°$) có: $\widehat{ACH}=45°$ (cmt)

⇒ ΔACH vuông cân tại H

⇒ $\widehat{CAH}=45°$ Hay $\widehat{KAB}=45°$

Xét ΔAKB vuông tại K ($\widehat{AKB}=90°$) có: $\widehat{KAB}=45°$ (cmt)

⇒ ΔAKB vuông cân tại K

⇒ K nằm chính giữa $\overparen{AB}$

⇒ OK ⊥ AB

Mà AB ⊥ MN (gt)

⇒ OK // MN (từ vuông góc đến song song)