Đáp án:

a) AM là đường trung tuyến của ABC cân tại A nên Am đồng thời là đường cao và phân giác

$\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow \widehat {AMB} = \widehat {AMC} = {90^0}\\
MB = MC = \dfrac{1}{2}BC = 5\left( {cm} \right)\\
Theo\,Pytago:\\
A{B^2} = A{M^2} + M{B^2}\\
 \Leftrightarrow A{M^2} = {13^2} - {5^2} = 144\\
 \Leftrightarrow AM = 12\left( {cm} \right)
\end{array}$

b)$GM = \dfrac{1}{2}AG \Leftrightarrow \dfrac{{AG}}{{AM}} = \dfrac{2}{3}$

Mà AM là trung tuyến của tam giác ABC

=> G là trọng tâm 

=> BG đi qua trung điểm AC

hay N là trung điểm AC

=> NA = NC

c) Kẻ BH vuông góc với AC tại H

$\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow {S_{ABC}} = \dfrac{1}{2}.AM.BC = \dfrac{1}{2}.BH.AC\\
 \Leftrightarrow BH = \dfrac{{AM.BC}}{{AC}} = \dfrac{{12.10}}{{13}} = \dfrac{{120}}{{13}}\left( {cm} \right)\\
Theo\,Pytago:\\
B{C^2} = H{C^2} + B{H^2}\\
 \Leftrightarrow H{C^2} = {10^2} - {\left( {\dfrac{{120}}{{13}}} \right)^2}\\
 \Leftrightarrow HC = \dfrac{{50}}{{13}}\left( {cm} \right)\\
 \Leftrightarrow NH = NC - HC = \dfrac{1}{2}.AC - \dfrac{{50}}{{13}} = \dfrac{{69}}{{26}}\left( {cm} \right)\\
Do:B{N^2} = B{H^2} + N{H^2}\\
 = {\left( {\dfrac{{120}}{{13}}} \right)^2} + {\left( {\dfrac{{69}}{{26}}} \right)^2}\\
BN = \dfrac{{3\sqrt {41} }}{2}\left( {cm} \right)
\end{array}$

d) CG cắt AB tại L

=> CL là đường trung tuyến của tg ABC

=> L là trung điểm AB

=> LN là đường trung bình của tam giác ABC

=> LN // BC (theo t/c)