Đáp án:

$\displaystyle\iint\limits_D xydxdy =10$

Giải thích các bước giải:

Đặt $\begin{cases}x = r\cos\varphi\\y = r\sin\varphi\end{cases}$

Ta có:

$\quad 1\leqslant x^2 + y^2 \leqslant 9$

$\Leftrightarrow 1 \leqslant r^2 \leqslant 9$

$\Leftrightarrow 1 \leqslant r \leqslant 3$

Mặt khác:

Miền $D$ nằm trong góc phần tư thứ nhất

nên $0 \leqslant \varphi \leqslant \dfrac{\pi}{2}$

Do đó miền $D$ được biểu diễn:

$D =\left\{(r,\varphi): 1 \leqslant r \leqslant 3;\ 0 \leqslant \varphi \leqslant \dfrac{\pi}{2}\right\}$

Ta được:

$\quad I = \displaystyle\iint\limits_D xydxdy$

$\Leftrightarrow I = \displaystyle\iint\limits_D r^2\sin\varphi\cos\varphi rdrd\varphi$

$\Leftrightarrow I = \displaystyle\int\limits_0^{\tfrac{\pi}{2}}d\varphi \displaystyle\int\limits_1^3r^2\sin\varphi\cos\varphi rdr$

$\Leftrightarrow I =  \displaystyle\int\limits_0^{\tfrac{\pi}{2}}\left(\dfrac{r^4}{4}\sin\varphi\cos\varphi\Bigg|_1^3\right)d\varphi$

$\Leftrightarrow I = \displaystyle\int\limits_0^{\tfrac{\pi}{2}}20\sin\varphi\cos\varphi d\varphi$

$\Leftrightarrow I = 10\sin^2\varphi\Bigg|_0^{\tfrac{\pi}{2}}$

$\Leftrightarrow I = 10$