Giải thích các bước giải:

a, Tứ giác OBEC có $\widehat{OBE}$ + $\widehat{OCE}$ = $90^o$ + $90^o$ = $180^o$ 

⇒ OBEC là tứ giác nội tiếp (đpcm)

b, d song song với tiếp tuyến tại A (gọi là Ax)

⇒ $\widehat{BAx}$ = $\widehat{APE}$  (so le trong)

Mà $\widehat{BAx}$ = $\widehat{ADB}$ (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung bằng góc nội tiếp chắn cung) ⇒ $\widehat{ADB}$ = $\widehat{APE}$

ΔABD và ΔAEP có:

$\widehat{ADB}$ = $\widehat{APE}$; $\widehat{A}$ chung

⇒ ΔABD ~ ΔAEP (g.g)

⇒ $\frac{AB}{AE}$ = $\frac{AD}{AP}$ 

⇒ AB.AP = AD.AE (đpcm)

c, Tương tự câu b, dễ dàng chứng minh được ΔBDE ~ ΔABE (g.g)

⇒ $\frac{BD}{AB}$ = $\frac{BE}{AE}$ 

ΔDCE ~ ΔCAE (g.g) ⇒ $\frac{DC}{AC}$ = $\frac{CE}{AE}$ 

Theo tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau, ta có BE = CE

⇒ $\frac{BE}{AE}$ = $\frac{CE}{AE}$ 

⇒ $\frac{BD}{AB}$ = $\frac{DC}{AC}$ (1)

Theo câu b, ΔABD ~ ΔAEP (g.g) ⇒ $\frac{BD}{EP}$ = $\frac{AB}{AE}$ 

⇒ EP = $\frac{BD.AE}{AB}$ (2)

ΔADC ~ ΔAQE (g.g) ⇒ EQ = $\frac{DC.AE}{AC}$ (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra: EP = EQ (đpcm)

Ta có:

$\widehat{ACM}$ = $\widehat{ADB}$ , $\widehat{APE}$ = $\widehat{ADB}$

⇒ $\widehat{APE}$ = $\widehat{ACM}$ (4)

ΔABC ~ ΔAPQ (g.g) ⇒ $\frac{BC}{PQ}$ = $\frac{AC}{AP}$ 

⇒ $\frac{\frac{BC}{2}}{\frac{PQ}{2}}$ = $\frac{AC}{AP}$ 

⇒ $\frac{MC}{EP}$ = $\frac{AC}{AP}$ (5)

Từ (4) và (5) suy ra: ΔAMC ~ ΔAEP (c.g.c)

⇒ $\widehat{MAC}$ = $\widehat{PAE}$ (đpcm)

d, Từ (1) suy ra: AB.CD = BD.AC

Áp dụng định lí Ptô-lê-mê vào tứ giác nội tiếp ABCD

BC.AD = AB.CD + BD.AC = 2AB.CD

⇒ 2MC.AD = 2AB.CD (BC = 2.MC)

=> MC.AD = AB.CD

=> $\frac{MC}{AB}$ = $\frac{CD}{AD}$

Lại có $\widehat{BAD}$ = $\widehat{BCD}$ (2 góc nội tiếp cùng chắn 1 cung)

Suy ra : ΔABD ~ ΔCMD

Mà ΔABD ~ ΔAMC (cmt)

=> ΔAMC ~ ΔCMD

=> $\frac{MC}{AM}$ = $\frac{MD}{MC}$

=> AM.MD = $MC^2$ = $\frac{BC^2}{4}$ (đpcm)