`a)` $∆ABC$ vuông tại $A$

`=>\hat{BAC}=90°`

`=>\hat{DAE}=90°`

Mà `D;A;E\in (H;AH)`

`=>DE` là đường kính của `(H;HA)`

`=>H\in DE`

`=>D;H;E` thẳng hàng 

$\\$

`b)` Vì `A;E\in (H;HA)`

`=>AH=EH`

`=>∆AEH` cân tại $H$

`=>\hat{EAH}=\hat{AEH}` $(1)$

$\\$

`\quad ∆ADE` vuông tại $A$

`=>\hat{ADE}+\hat{AED}=90°` (hai góc phụ nhau)

`=>\hat{BDE}+\hat{AEH}=90°` $(2)$

$\\$

`\qquad ∆ACH` vuông tại $H$

`=>\hat{CAH}+\hat{ACH}=90°` (hai góc phụ nhau)

`=>\hat{EAH}+\hat{ECB}=90°` $(3)$

$\\$

Từ `(1);(2);(3)=>\hat{BDE}=\hat{ECB}`

`=>`Tứ giác $BECD$ có hai đỉnh kề nhau $D;C$ cùng nhìn cạnh $BE$ dưới hai góc bằng nhau

`=>BECD` nội tiếp 

$\\$

`c)` Gọi $F$ là giao điểm của $AM$ và $DE$

Ta có: `\hat{EAH}=\hat{AEH}` (từ $(1)$ câu b)

`\qquad AM` là trung tuyến $∆ABC$ vuông tại $A$

`=>AM=MC=1/ 2 BC`

`=>∆MAC` cân tại $M$

`=>\hat{CAM}=\hat{ACM}=\hat{ACH}`

$\\$

Vì `\hat{CAH}+\hat{ACH}=90°` (hai góc phụ nhau)

`=>\hat{EAH}+\hat{CAM}=90°`

`=>\hat{AEH}+\hat{EAF}=90°`

`=>\hat{AEF}+\hat{EAF}=90°`

`=>∆AEF` vuông tại $F$

`=>AM`$\perp DE$ tại $F$ $(4)$

$\\$

Vì $I$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác $BECD$ (gt)

`=>ID=IE=IB=IC`

`=>∆IDE;∆IBC` cân tại $I$

Mà $H$ là trung điểm $DE$ (do $DE$ là đường kính của $(H;HA)$)

`=>IH` là trung tuyến $∆IDE$ cân tại $I$

`=>IH` đồng thời là đường cao $∆IDE$

`=>IH`$\perp DE$ $(5)$

$\\$

Từ `(4);(5)=>IH`//$AM$ $(6)$

$\\$

Vì $M$ là trung điểm $BC$ (do $AM$ là trung tuyến $∆ABC$)

`=>IM` là trung tuyến $∆IBC$ cân tại $I$

`=>IM` đồng thời là đường cao $∆IBC$

`=>IM`$\perp BC$

Mà $AH\perp BC$

`=>IM`//$AH$ $(7)$

$\\$

Từ `(6);(7)=>AHIM` là hình bình hành