Gọi phân số tối giản khác 0 đó có dạng $\frac{a}{b}$ ( a,b ∈ Z , ƯCLN(a, b) = 1 , $\frac{a}{b}$ $\neq$ 0 , a $\neq$ 0 và b $\neq$ 0 )

Theo bài ra ta có :

$\frac{a}{b}$ + $\frac{b}{a}$ = $\frac{41}{20}$

⇒ $\frac{a.a}{b.a}$ + $\frac{b.b}{a.b}$ = $\frac{41}{20}$

⇒$\frac{a^2 + b^2 }{a.b}$ = $\frac{41}{20}$

Vì phân số $\frac{41}{20}$ là phân số tối giản ( vì ƯCLN(41, 20) = 1 )

⇒ $\frac{a^2 + b^2 }{a.b}$ là phân số tối giản mà $\frac{a^2 + b^2 }{a.b}$ = $\frac{41}{20}$

⇒ \(\left[ \begin{array}{l}a^2 + b^2 = 41\\a.b = 20\end{array} \right.\) ⇒ a^2 , b^2 < 41

Mà ƯCLN(a, b) = 1 ( theo trên ), a.b = 20, a^2 , b^2 < 41

⇒ \(\left[ \begin{array}{l}a=4\\b=5\end{array} \right.\) hoặc \(\left[ \begin{array}{l}a=5\\b=4\end{array} \right.\)  ( Thỏa mãn điều kiện a,b ∈ Z , ƯCLN(a, b) = 1 , $\frac{a}{b}$ $\neq$ 0 , a $\neq$ 0 và b $\neq$ 0 )

Vậy (a, b) ∈ { ( 4 ; 5 ) ; ( 5 ; 4 ) }

Đáp án + Giải thích các bước giải:

Gọi phân số đó là : `a/b`

Theo bài ra ta có :

`a/b + b/a = 41/20`

Đặt `a/b - b/a = k`

$⇒ \dfrac{a}b = \dfrac{\dfrac{a}b + \dfrac{b}a + \dfrac{a}b - \dfrac{b}a}{2} = \dfrac{\dfrac{41}{20} + k}{2}$ `(1)`

và $\dfrac{b}a = \dfrac{\dfrac{a}b + \dfrac{b}a - \dfrac{a}b + \dfrac{b}a}{2} = \dfrac{\dfrac{41}{20} - k}{2}$ `(2)`

Từ `(1),(2)` $⇒ \dfrac{a}b . \dfrac{b}a = \dfrac{\dfrac{41}{20} + k}{2} . \dfrac{\dfrac{41}{20} - k}{2} = \dfrac{(\dfrac{41}{20} + k) . (\dfrac{41}{20} - k)}{4}=1$

$⇒ (\dfrac{41}{20} + k) . (\dfrac{41}{20} - k) = 4$

`=> (41/20)^2 - k^2 = 4` (Áp dụng HĐT)

`⇒ k^2 = 1681/400 - 4  `

`=> k^2 = 81/400`

`=> k = 9/20`

Thay vào `(1)` ta có :

`a/b = (41/20 + 9/20) : 2 = 5/4`

Vậy phân số đó là `5/4`