$b)$

Theo hệ thức Viète ta có

$\begin{cases} x_1  + x_2 = \dfrac{-b}{a} = m+1 \\\\\\ x_1x_2 = \dfrac{c}{a} = m-2 \end{cases}$

$\to x_1 + x_2 - x_1x_2 = (m+1) - (m-2) = 3$

$\to x_1(1-x_2) - (1-x_2) = 2$

$\to (x_1 - 1)(1-x_2) = 2$

Vì $x_1;\ x_2$ là số nguyên nên $ (x_1-1);\ (1-x_2) \in Ư(2) = \{ -2 ; -1 ; 1 ; 2 \}$

Xét trường hợp $1$

$\begin{cases} x_1 -1 =-2 \\\\\\ 1- x_2 = -1\end{cases} \ \ \to \begin{cases} x_1 =-1 \\\\\\ x_2 = 2\end{cases}\ \to m = x_1 +x_2 - 1 = -1 + 2 - 1 = 0$

Trường hợp $2$

$ \begin{cases} x_1 -1 =-1 \\\\\\ 1- x_2 = -2\end{cases} \ \ \to \begin{cases} x_1 =0 \\\\\\ x_2 = 3\end{cases}\  \to m = x_1 +x_2 -1 = 0 +3 -1 = 2 $

Trường hợp $3$

$ \begin{cases} x_1 -1 =1 \\\\\\ 1- x_2 = 2\end{cases}\ \ \to \begin{cases} x_1 =2 \\\\\\ x_2 = -1\end{cases}\  \to m = x_1 +x_2 - 1 = -1 + 2 - 1 = 0$

Trường hợp $4$

$ \begin{cases} x_1 -1 =2 \\\\\\ 1- x_2 = 1\end{cases}\ \ \to \begin{cases} x_1 =3 \\\\\\ x_2 = 0\end{cases}\ \to m = x_1 +x_2 -1 = 0 +3 -1 = 2$

Vậy $ m \in \{ 0;2 \}$

Đáp án:

`x^2 - (m + 1)x + m - 2 = 0 (1)`

 a, `Δ = [-(m + 1)]^2 - 4.1.(m-  2)`

`= m^2 - 2m + 9 = (m - 1)^2 + 8 > 0 `

`(∀m in R) ->đpcm`

b, `x^2 - (m + 1)x + m - 2 = 0 ↔ x^2 - mx - x + m - 2 = 0`

`↔ x^2 - x  - 2 = mx - m ↔ x^2 - x - 2 = m(x-  1) (2)`

Nhận thấy `x = 1` không là nghiệm của `(1) (-2 = 0 ( Vô lí) -> x ne 1`

Đem chia `2` vế của `(2)` cho `x - 1 ne 0` ta được

`m = (x^2 - x-  2)/(x-  1) = [x(x - 1) - 2]/(x-  1) = x - 2/(x - 1)`

Để phương trình có nghiệm nguyên `↔ 2 \vdots x - 1 ↔ x - 1 in Ư(2)`

`↔ x - 1 ∈ {+-1 ; +- 2} ↔ x ∈ {0 ; 2 ; -1 ; 3} ↔ m in {2 ; 0}`

Vậy `m in {0; 2}`

Giải thích các bước giải: