a)

Ta có:

$OC$ là tia phân giác $\widehat{MOA}$

$OD$ là tia phân giác $\widehat{MOB}$

Mà $\widehat{MOA}$ và $\widehat{MOB}$ là hai góc kề bù

Nên $OC\bot OD$

Do đó $\widehat{COD}=90{}^\circ $

b)

Ta có:

$MC=AC$

$MD=BD$

$\to MC+MD=AC+BD$
$\to CD=AC+BD$

c)

$\Delta OCD$ vuông tại $A$, đường cao $OM$

$\to MC.MD=O{{M}^{2}}$

$\to AC.BD={{R}^{2}}$ (không đổi)

d)

Gọi $I$ là trung điểm $CD$

$\to I$ là tâm của đường tròn ngoại tiếp $\Delta COD$

Xét hình thang $ACDB\left( AC//DB \right)$, ta có:

+   $I$ là trung điểm $CD$

+   $O$ là trung điểm $AB$

$\to OI$ là đường trung bình của hình thang $ACDB$

$\to OI//AC//DB$

$\to OI\bot AB$

$\to AB$ là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp $\Delta COD$

e)

Gọi $E$ là giao điểm $AD$ và $BC$

Theo hệ quả định lý Ta-let

Ta có $\dfrac{EA}{ED}=\dfrac{AC}{BD}=\dfrac{MC}{MD}$

$\to ME//AC$ (Ta-let đảo)

$\to ME\bot AB$

$\to M,E,H$ thẳng hàng

$\Delta AEH$ có $EH//BD\to \dfrac{EH}{BD}=\dfrac{AE}{AD}$

$\Delta CBD$ có $EM//BD\to \dfrac{EM}{BD}=\dfrac{CE}{CB}$

Mà do $\dfrac{AE}{AD}=\dfrac{CE}{CB}$ (hệ quả định lý Ta-let)

Nên $\dfrac{EH}{BD}=\dfrac{EM}{BD}$

$\to EH=EM$

$\to E$ là trung điểm của $MH$

Vậy $BC$ đi qua trung điểm $MH$

f)

Ta có $CM=CA\to \widehat{CAM}=\widehat{CMA}$

Mà $\widehat{CAM}+\widehat{CQM}=90{}^\circ $ và $\widehat{CMA}+\widehat{CMQ}=90{}^\circ $

Nên $\widehat{CQM}=\widehat{CMQ}$

$\to \Delta MCQ$ cân tại $C$

$\to CQ=CM$

$\to CQ=CA$

$\to C$ là trung điểm $AQ$

Tương tự: $D$ laf trung điểm của $BP$

Xét hình thang $AQPB$ với hai đáy $AQ$ và $MP$ ta có:

$C$ là trung điểm  đáy $AQ$

$D$ là trung điểm đáy $BP$

Nên $AB,CD,PQ$ đồng quy tại một điểm (bổ đề hình thang)