Đáp án+Giải thích các bước giải:

 a)Xét `2``Δ`vuông`AHM` và `ΔAKM` ta có:

             `AM` cạnh chung

            `∠A1=∠A2`(gt)

`⇒ΔAHM=ΔAKM`(cạnh huyền-góc nhọn)

`⇒AH=AK`(`2`cạnh tương ứng)

Ta có:

`∠BMA=90^o-∠A1`

`∠BAM=90^o-∠A1`

`⇒∠BMA=∠BAM`

`⇒ΔMAB` cân tại `B``→BA=BM`

b)Gọi `D` là giao điểm của `AM` và `CI`

Ta có:

`IK⊥AC`

`CH⊥AI`

`⇒``M` là trực tâm của `ΔAIC`

`⇒AD⊥IC` hay `AM⊥IC`

Ta có:`AH=AK`(cmt)`⇒ΔAHK` cân tại `A`

                               `⇒∠AKH=(180^o-∠A)/2``(1)`

Xét `2ΔADI` và `ΔADC` ta có:

  `∠ADI=∠ADC=90^o`

 `AD`cạnh chung

 `∠A1=∠A2`(gt)

`⇒ΔADI=ΔADC``(g-c-g)`

`⇒AI=AC`(`2`cạnh tương ứng)

`⇒ΔAIC` cân tại `A``⇒∠ACI=(180^o-∠A)/2``(2)`

Từ `(1)` và `(2)`:

`∠AKH=∠ACI`(`2` góc này ở vị trí đồng vị)

⇒`KH`//`CI`

a) Xét `ΔAHM` và `ΔAKM` có:

`∠AHM = ∠AKM = 90^o`

AM cạnh chung

`∠HAM = ∠KAM` (vì AM là tia phân giác của `∠CAH`)

`=> ΔAHM = ΔAKM` (cạnh huyền - góc nhọn)   (đpcm)

`=> AH = AK` (2 cạnh tương ứng)  (1)

      `∠AMH = ∠AMK` (2 góc tương ứng)

Ta có: `∠AMK + ∠KAM = 90^o` (vì `ΔAKM` vuông tại K)

`=> ∠AMH + ∠KAM = 90^o`

Mà `∠KAM + ∠BAM = 90^o`

`=> ∠AMH = ∠BAM`

`=> ΔABM` cân tại B

`=> AB = BM`  (2)

Từ (1), (2) ta có đpcm

b) Ta có: `∠AHM = ∠AKM = 90^o` (vì `ΔAHM = ΔAKM`)

`=> ∠IHM = ∠CKM (=90^o)`

Xét `ΔHIM` và `ΔCKM` có:

`∠IHM = ∠CKM` (cmt)

HM = KM (vì `ΔAHM = ΔAKM`)

`∠IMH = ∠CMK` (2 góc đối đỉnh)

`=> ΔIHM = ΔCMK (g.c.g)`

`=> HI = CK` (2 cạnh tương ứng)

Lại có: `AH = AK` (cmt)

`=> AH + HI = AK + CK`

`=> AI = AC`

`=> ΔACI` cân tại A

`⇒ ∠ACI = (180^o - ∠A) : 2`

Vì `AH = AK` (cmt) nên `ΔAHK` cân tại A

`=> ∠AKH = (180^o - ∠A) : 2`

`=> ∠AKH = ∠ACI`

Mà 2 góc này ở vị trí đồng vị

`=>` HK // CI   (3)

Xét `ΔACI` cân tại A cân tại A có AM là đường phân giác

`=> AM ⊥ CI`  (4)

Từ (3), (4) 

`=> đpcm`