`a)`

Ta có:`{:(hat{CAD}=90^o),(hat{CBD}=90^o),(hat{ACB}=90^o):}}`(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Xét tứ giác `ACBD` có:

`hat{CAD}=hat{CBD}=hat{ACB}=90^o`

`⇒` tứ giác `ACBD` là hình chữ nhật(tứ giác có `3` góc vuông là hình chữ nhật)(đpcm)

`b)`

Vì tứ giác `ACBD` là hình chữ nhật

`⇒AD=BC`(tính chất hình chữ nhật)

`⇒`$\mathop{AD}\limits^{\displaystyle\frown}=\mathop{BC}\limits^{\displaystyle\frown}$

Mà `hat{C_1}=1/2sđ` $\mathop{AD}\limits^{\displaystyle\frown}$(góc nội tiếp)

        `hat{EBC}=1/2sđ` $\mathop{BC}\limits^{\displaystyle\frown}$(góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung)

Mà $\mathop{AD}\limits^{\displaystyle\frown}=\mathop{BC}\limits^{\displaystyle\frown}(cmt)$

`⇒hat{C_1}=hat{EBC}`

Xét `ΔACD` và `ΔCBE` có:

       `hat{CAD}=hat{BCE}=90^o`

       `hat{C_1}=hat{EBC}(cmt)`

`⇒ΔACD`$\backsim$`ΔCBE(g.g)(đpcm)`

`c)`

Vì `hat{CBD}=90^o`(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)`⇒CB⊥BD(1)`

     `hat{ADB}=90^o`(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)`⇒AD⊥BD(2)`

Từ `(1)` và `(2)⇒CB////AD`(từ `⊥` đến `////)`

Hay `CB////AF`

`⇒hat{EBC}=hat{F}(2` góc đồng vị)

Mà `hat{EBC}=hat{C_1}(cmt)`

`⇒hat{C_1}=hat{F}`

Xét tứ giác `CDFE` có:

       `hat{C_1}=hat{F}(cmt)`

`⇒` tứ giác `CDFE` nội tiếp được một đường tròn(dấu hiệu tứ giác nội tiếp)(đpcm)

`d)`

Xét `ΔCEB` và `ΔAEF` có:

          `hat{E}:chung`

       `hat{EBC}=hat{F}(cmt)`

`⇒ΔCEB`$\backsim$`ΔAEF(g.g)`

`⇒(S_(ΔCEB))/(S_(ΔAEF))=((EB)/(EF))^2`

`⇒(S_1)/S=(EB^2)/(EF^2)`

`⇒(\sqrt{S_1})/(\sqrt{S})=(EB)/(EF)(3)`

Xét `ΔDBF` và `ΔAEF` có:

          `hat{F}:chung`

       `hat{BDF}=hat{EAF}=90^o`

`⇒ΔDBF`$\backsim$`ΔAEF(g.g)`

`⇒(S_(ΔDBF))/(S_(ΔAEF))=((BF)/(EF))^2`

`⇒(S_2)/S=(BF^2)/(EF^2)`

`⇒(\sqrt{S_2})/(\sqrt{S})=(BF)/(EF)(4)`

Cộng vế theo vế `(3)` và `(4)` ta được:

`(\sqrt{S_1})/(\sqrt{S})+(\sqrt{S_2})/(\sqrt{S})=(EB)/(EF)+(BF)/(EF)`

`⇒(\sqrt{S_1}+\sqrt{S_2})/(\sqrt{S})=(EB+BF)/(EF)`

`⇒(\sqrt{S_1}+\sqrt{S_2})/(\sqrt{S})=(EF)/(EF)`

`⇒(\sqrt{S_1}+\sqrt{S_2})/(\sqrt{S})=1`

`⇒\sqrt{S_1}+\sqrt{S_2}=\sqrt{S}(đpcm)`