a)

Vì $M$ đối xứng với $D$ qua $AB$

Nên $MD\bot AB$ tại $E$ và $E$ là trung điểm $MD$

Vì $N$ đối xứng với $D$ qua $AC$

Nên $ND\bot AC$ tại $F$ và $F$ là trung điểm $ND$

Xét tứ giác $AEDF$ có $\widehat{AED}=\widehat{AFD}=\widehat{EAF}=90{}^\circ $

$\to AEDF$ là hình chữ nhật

b)

Xét $\Delta ABC$, ta có:

+   $D$ là trung điểm $BC$

+   $DE//AC$ (cùng vuông góc $AB$)

$\to E$ là trung điểm $AB$

Mà $E$ cũng là trung điểm $MD$

$\to ADBM$ là hình bình hành

c)

Ta có $ADBM$ là hình bình hành

Nên $AM//DB$ và $AM=DB$

Chứng minh tương tự câu b:

Ta có $ADCN$ là hình bình hành

$\to AN//DC$ và $AN=DC$

Mà do $D$ là trung điểm $BC$

Nên $3$ điểm $B,D,C$ thẳng hàng à $DB=DC$

Do đó $AM\equiv AN$ và $AM=AN$
$\to A,M,N$ thẳng hàng và $AM=AN$

$\to M$ đối xứng với $N$ qua $A$

d)

Ta có $AEDF$ là hình chữ nhật

Để $AEDF$ trở thành hình vuông

Thì $AD$ là tia phân giác của $\widehat{EAF}$

$\to AD$ là đường phân giác của $\Delta ABC$ vuông tại $A$

Mà $AD$ cũng là đường trung tuyến của $\Delta ABC$ vuông tại $A$
Nên $\Delta ABC$ vuông cân tại $A$

Vậy $\Delta ABC$ cần vuông cân tại $A$ thì $AEDF$ là hình vuông