Đáp án:

$a)\quad y = x^2.e^{-x^2} + C.e^{-x^2}$

$b)\quad y = C_1e^x + C_2e^{-2x} + \dfrac14xe^{2x} - \dfrac{1}{16}e^{2x}$

Giải thích các bước giải:

$a)\quad y' + 2xy = 2x.e^{-x}\qquad (*)$

Nghiệm của phương trình thuần nhất tương ứng có dạng:

$\quad y = C.e^{\displaystyle\int-2xdx}$

$\Leftrightarrow y = C.e^{-x^2}$

Do đó nghiệm của $(*)$ có dạng:

$\quad y = C(x).e^{-x^2}$

$\Rightarrow y' = C'(x).e^{-x^2} - 2xC(x).e^{-x^2}$

Thay vào $(*)$ ta được:

$\quad C'(x).e^{-x^2} - 2xC(x).e^{-x^2} + 2xC(x).e^{-x^2} = 2x.e^{-x^2}$

$\Leftrightarrow C'(x)= 2x$

$\Leftrightarrow C(x)= x^2 + C$

Vậy nghiệm của phương trình là: $y = x^2.e^{-x^2} + C.e^{-x^2}$

$b)\quad y'' + y' - 2y = (x+1).e^{2x}\qquad (**)$

Xét phương trình đặc trưng:

$k^2 + k - 2 = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}k = 1\\k= - 2\end{array}\right.$

Do đó nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất tương ứng có dạng:

$\quad y = C_1e^x + C_2e^{-2x}$

Ta có: $f(x)= e^{2x}(x+1)$

Với $\gamma = 2$ không là nghiệm của phương trình đặc trưng

Do đó nghiệm riêng của $(**)$ có dạng:

$\quad y = e^{2x}(Ax + B)$

$\Rightarrow y' = 2e^{2x}(Ax + B) + A.e^{2x}$

$\Rightarrow y'' = 4e^{2x}(Ax + B) + 4A.e^{2x}$

Thay vào $(**)$ ta được:

$\quad 4e^{2x}(Ax + B) + 5A.e^{2x} = e^{2x}(x+1)$

$\Leftrightarrow 4Ax + 5A + 4B = x + 1$

Đồng nhất hai vế, ta được:

$\begin{cases}4A = 1\\5A + 4B = 1\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}A = \dfrac14\\B = -\dfrac{1}{16}\end{cases}$

Vậy nghiệm của phương trình là:

$y = C_1e^x + C_2e^{-2x} + \dfrac14xe^{2x} - \dfrac{1}{16}e^{2x}$