Đáp án:

$(\alpha): 8x + 20y - 37z - 40 = 0$

Giải thích các bước giải:

Đặt $A(a;0;0),\ B(0;b;0),\ C(0;0;c)$

Do $\begin{cases}x_A > 0\\ z_C < 0\end{cases}$

nên $\begin{cases}a > 0\\ c < 0\end{cases}$

Ta được:

$\quad 8OA = 12OB + 16= 37OC$

$\Leftrightarrow 8a = 12|b| + 16 = - 37c\qquad (*)$

$+)\quad b > 0$

$(*)\Leftrightarrow 8a = 12b + 16 = - 37c$

$\Leftrightarrow \begin{cases}c = - \dfrac{8}{37}a\\b = \dfrac{2a -4}{3}\end{cases}$

Do $b > 0$

nên $\dfrac{2a - 4}{3} > 0$

hay $a > 2$

Phương trình mặt phẳng $(\alpha)$ theo đoạn chắn có dạng:

$(\alpha):\dfrac{x}{a} + \dfrac{y}{b} + \dfrac{z}{c}= 1$

$\Leftrightarrow \dfrac{x}{a} + \dfrac{3y}{2a - 4} - \dfrac{37z}{8a} = 1$

Do $(\alpha)$ đi qua $M(1;9;4)$

nên $\dfrac{1}{a} + \dfrac{27}{2a - 4} - \dfrac{37}{2a} = 1$

$\Leftrightarrow a^2 + 2a - 35 = 0$

$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}a = 5\quad (nhận)\\a = - 7\quad (loại)\end{array}\right.$

Ta được:

$(\alpha): \dfrac{x}{5} + \dfrac{y}{2} - \dfrac{37z}{40} = 1$

$\Leftrightarrow 8x + 20y - 37z - 40 = 0$

$+)\quad b < 0$

$(*)\Leftrightarrow 8a = -12b + 16 = - 37c$

$\Leftrightarrow \begin{cases}c = - \dfrac{8}{37}a\\b = \dfrac{4 - 2a}{3}\end{cases}$

Do $b < 0$ nên $a > 2$

Hoàn toàn tương tự như trên, ta được:

$\dfrac{1}{a} + \dfrac{27}{4 - 2a} - \dfrac{37}{2a} = 1$

$\Leftrightarrow a^2 + 29a - 35 = 0$

$\Leftrightarrow a = \dfrac{- 29 \pm 3\sqrt{109}}{2}\quad (loại)$

Vậy $(\alpha): 8x + 20y - 37z - 40 = 0$