Câu 3

a) Do hàm số có trục đối xứng là 2 nên ta có $-\dfrac{b}{2a} = 2$

Lại có gtri nhỏ nhất của hso là -3 nên hso đi qua điểm (2,-3). Vậy

$-3 = 4a + 2b + 1$

Vậy $a = 1, b = -4$. Do đó, hso là $y = x^2 - 4x + 1$

b) Gọi $d_2: y = ax + b$. Đường thẳng đã cho là $y = -\dfrac{1}{2} x - 3$

Do $d_2$ vuông góc vs đthang trên nên ta có $a . (-\dfrac{1}{2}) = -1$ hay $a = 2$.

Vậy $d_2: y = 2x + b$

Do $d_2$ txuc vs hso $y = x^2 - 4x + 1$ nên ptrinh sau chỉ có 1 nghiệm duy nhất

$x^2 - 4x + 1 = 2x + b$

$ x^2 - 6x + 1 - b = 0$

Để ptrinh có 1 nghiệm duy nhất thì $\Delta' = 0$ hay $9-(1-b) = 0$ hay $b = -8$

Vậy $d_2: y = 2x - 8$.

c) Để hso $y = x^2 -4x + 1$ giao vs đthang $y = x + c$ tại 2 điểm A, B thỏa mãn AB = 8 thì ptrinh

$x^2 - 4x + 1 = x + c$

phải có 2 nghiệm phân biệt.

Ptrinh tương đương vs

$x^2 - 5x + 1-c = 0$

Để có 2 nghiệm pbiet thì $\Delta > 0$ hay $25 - 4(1-c) > 0$ hay $c> -\dfrac{21}{4}$

Gọi hai nghiệm của ptrih là $x_1, x_2$, khi đó, ta có $A(x_1, x_1 + c), B(x_2, x_2 + c)$ và

$AB^2 = (x_2 - x_1)^2 + (x_2 + c - (x_1 + c))^2 = 2(x_2 - x_1)^2 = 64$

Vậy $(x_2 - x_1)^2 = 32$

Lại có

$(x_2 - x_1)^2 = (x_2 + x_1)^2 - 4x_1 x_2$

Áp dụng Viet ta có

$5^2 - 4(1-c) = 32$

$ c = \dfrac{11}{4}$ (thỏa mãn)

Vậy $y = x + \dfrac{11}{4}$