Đáp án+Giải thích các bước giải:

$a) BI$ là phân giác $\widehat{ABC} \Rightarrow \widehat{B_1}= \widehat{B_2}=\dfrac{1}{2} \widehat{ABC}$

$CI$ là phân giác $\widehat{ACB} \Rightarrow \widehat{C_1}= \widehat{C_2}=\dfrac{1}{2} \widehat{ACB}$

$\Delta ABC, \widehat{ABC}+ \widehat{ACB}+ \widehat{BAC}=180^\circ\\ \Rightarrow \widehat{ABC}+ \widehat{ACB}=180^\circ- \widehat{BAC}=90^\circ\\ \widehat{B_1}+ \widehat{C_1}=\dfrac{1}{2}( \widehat{ABC}+ \widehat{ACB})=45^\circ\\ \Delta BIC, \widehat{B_1}+ \widehat{C_1}+\widehat{BIC}=180^\circ\\ \Rightarrow \widehat{BIC}=180^\circ-( \widehat{B_1}+ \widehat{C_1})=135^\circ$

$b) \Delta ABC, I$ là giao điểm $2$ phân giác 

$\Rightarrow AI$ là phân giác $\widehat{BAC}$

$\Rightarrow \widehat{A_1}=\widehat{A_2}$

Xét $\Delta ADI$ và $\Delta AEI:$

$\widehat{ADI}=\widehat{AEI}=90^\circ$

$AI:$ chung

$\widehat{A_1}=\widehat{A_2}$
$\Rightarrow \Delta ADI =\Delta AEI$ (cạnh huyền - góc nhọn)

$\Rightarrow AD=AE$

$c) \Delta ABC$ vuông tại $A$
$\Rightarrow BC^2=AB^2+AC^2 (Pytago)\\ \Rightarrow BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=15(cm)$

Xét $\Delta BDI$ và $\Delta BFI:$

$\widehat{BDI}=\widehat{BFI}=90^\circ$

$BI:$ chung

$\widehat{B_1}=\widehat{B_2}$

$\Rightarrow \Delta BDI = \Delta BFI$ (cạnh huyền - góc nhọn)

$\Rightarrow BD=BF$

Chứng minh tương tự ta có $CE=CF$

Ta có: $AB+AC+BC=9+12+15$

$\Leftrightarrow AD+BD+AE+CE+BC=36\\ \Leftrightarrow AD+AD+BF+CF+BC=36\\ \Leftrightarrow 2AD+BC+BC=36\\ \Leftrightarrow 2AD+2BC=36\\ \Leftrightarrow AD+BC=18\\ \Leftrightarrow AD=18-BC\\ \Leftrightarrow AD=3(cm).$